y=(x^2-2x-1)logx のn次導関数を求めて頂きたいです！ ライプニッツの公式を用いてみよ

y=(x^2-2x-1)logx のn次導関数を求めて頂きたいです！
ライプニッツの公式を用いてみようと試みたのですが、できませんでした...

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2023/07/29 11:39

> できませんでした...

　できないわけないでしょ。
　　U(x) = ((d/dx)^n) (fg)
　　f = x^2 - 2x - 1
　　g = log(x)
とすると、
　　k≧4 ⇒ ((d/dx)^k) f = 0
だから、ライプニッツの公式を使って、n≧4のとき
　　U(x) = Σ{k=0～3} nCk (((d/dx)^k)f)(((d/dx)^(n - k))g)

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/07/28 20:46

y=(x^2-2x-1)logx

y'=2(x-1)logx+x-2-1/x

y"=2logx+3-2/x+1/x^2

n≧3 のとき

y^(n')=-2(n-3)!/(-x)^(n-2)+2(n-2)!/(-x)^(n-1)+(n-1)!/(-x)^n

No.1 回答者： へのへのもへへ 回答日時： 2023/07/28 20:39

場合分けされては如何ですか？多項式側の微分ていつかは多項式が消えることになるでしょうし、対数側は単純なべき関数の微分に帰着されますよね。

これを服数回微分したら、パターンが見いだせるはず。あとは数学的帰納法の要領で一般解を導出すると、答が出そうな気がしました。

ちなみに勉強不足(加えて物理出身の専攻違い)で申し訳ありませんが、ライプニッツの公式ってどんなのでしたか？？