曲線y=x-x^3とｘ軸で囲まれた図形をｘ軸の周りに一回転させてできる体積を求めよ。 これは２π（∫

曲線y=x-x^3とｘ軸で囲まれた図形をｘ軸の周りに一回転させてできる体積を求めよ。
これは２π（∫[0,-1]（x-x^3）^2dx-∫[0,1] （x-x^3）^2dx）これを求めればいいのでしょうか？

No.4 回答者： AっKI 回答日時： 2023/07/30 09:31

定積分を使って面積や体積を立式しようとする場合は

『必ずグラフを描いて，曲線や軸との上下関係を正しく把握すること』
です。
おそらく、それができていないから立式でミスをするのです。

あと、他回答者もおっしゃっているように
「対称性は常に意識すること」
です。対称性を利用せずとも立式、計算はできますが
対称性を利用すれば計算量が少なくてすみます。当然
計算ミスの可能性も減る。そういう、細かい積み重ねが大切です。

No.3 回答者： へのへのもへへ 回答日時： 2023/07/29 22:12

これ理解できたのですか？

No.2 回答者： へのへのもへへ 回答日時： 2023/07/29 05:21

先ず、この三次関数は奇関数であることを証明しましょう。

そうすると、積分範囲がx軸の正の領域だけで、結果を2倍すればよいことになりますね。
さて、考え方ですが、この場合は、
ある微小な厚みdxと半径f(x)をもつ円盤の体積を、積分範囲で足していくと考えます。
円盤の体積は
π✕{f(x)}^2✕dx
で表されますよね。
あとは、先述の考え方を適用すると、体積Vは
V=2π∫[0,1](x-x^3)^2dxを求めたら良いと考えます。
被積分関数にちょっと余分な項があるように思います…その計算だと答えは0になりません？？

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/07/29 05:13

いいえ、違います