場合の数、確率 48 D＃＃一橋大学過去問

Question

本題

まず、特にあたって考えたことは

関係式を造る。Aの得点をX,Bの得点をYとし

題意を満たす関係式は、X-Y=1…①

①を満たす(X,Y)=(2,0),(3,1),(4,2),(5,3)  …②　など

②の結果と試行回数の関係を調べてみた

②の結果から、nは偶数で起きる

②で、例えば、(2,0)　試行回数 2

ここで、1/(試行回数)=m　と置いてはみたが、その先の考え方と考察がわからない

どうか教えてください

以下問題

___________________________________

https://imgur.com/a/CnDUgU9

________________________

tsuyoshi2004 · Accepted Answer

添付図は、ｎ＝４までの得点差の推移の樹形図です。
この問題の肝は、偶数回目で終わらず（ＡもＢも勝たず）に次の奇数回目に入る確率を求めることです。
図に描いたように、奇数回目でＡまたはＢが得点し、偶数回目でＢまたはＡが得点した場合に偶数回目で終わらずに次の奇数回目があります。
その確率は２／３×１／３＋１／３＋２／３＝４／９です。
言い換えれば、（ｎが偶数の場合）ｎ－２回の試行が行われたのであれば、ｎ回目で勝負がつかずにｎ＋１回目の試行になる確率は４／９ということです。
したがって、（ｎが偶数の場合）ｎ回目の試行でＡが勝つ確率は、
（ｎ－２回目までで勝負がつかない確率）×（その後の２回でＡが勝つ確率）になります。
ｎ－２回目までで勝負がつかない確率は（４／９）＾｛（ｎ－２）／２｝
その後の２回でＡが勝つ確率は４／９
したがって、（ｎが偶数の場合）ｎ回目の試行でＡが勝つ確率は
（４／９）＾｛（ｎ－２）／２｝・４／９
＝（４／９）＾（ｎ／２）
＝（２／３）＾ｎ

tsuyoshi2004 · Answer

＃１です。どこかに間違いがあったようですね。

実際に計算してみると、（Ａ：Ａが得点、Ｂ：Ｂに得点として）
２回目でＡが勝つのは、「ＡＡ」の（２／３）＾２
４回目でＡが勝つのは、「ＡＢＡＡ」と「ＢＡＡＡ」で２（２／３・１／３・２／３・２・３）＝（２／３）＾４
６回目にＡが勝つのは、「ＡＢＡＢＡＡ」「ＡＢＢＡＡＡ」「ＢＡＡＢＡＡ」「ＢＡＢＡＡＡ」で４（２／３・１／３・２／３・１／３・２／３・２／３）＝（２／３）＾６
でしょう。
とすると、ｎが偶数の場合は
（４／９）＾（ｎ／２）という表記の問題で
＝（２／３）＾ｎ
とするのが正解でしょうか？

tsuyoshi2004 · Answer

おそらくこの問題は、「４以下ならＡに１点、５以上ならＡにー１点」と考えて、ｎ回で（それ以前に±２点にならず）＋２点になる確率を考えるほうが賢明ではと思います。

もう少し考えると、その場合試行が継続する条件は点数がー１点～＋１点の間にあるということです。
ご質問に書かれている通り、終了するのは必ず偶数回目で、偶数回目で終わらなかった場合は０しかありません。
したがって、ｎが奇数の場合は確率は０
ｎが偶数の場合は
ｎ－１回目とｎ回目の組み合わせを考えると、
４以下、４以下・・・・Ａの勝ち（４／９）
４以下、５以上・・・・０（２／９）
５以上、４以下・・・・０（２／９）
合計して０になるのは４／９
５以上、５以上・・・・Ｂの勝ち（１／９）
ということになります。
ｎ回目でＡが勝つにはｎ－２回目が０であることが必要条件なので、その確率は（４／９）＾｛（ｎ－２）／２｝
そこからｎ－１回目とｎ回目でＡが勝つので、
（４／９）＾｛（ｎ－２）／２｝×４／９＝（４／９）＾（ｎ／２）

場合の数、確率 48 D＃＃ 一橋大学過去問

添付図は、ｎ＝４までの得点差の推移の樹形図です。

＃１です。

おそらくこの問題は、「４以下ならＡに１点、５以上ならＡにー１点」と考えて、ｎ回で（それ以前に±２点にならず）＋２点になる確率を考えるほうが賢明ではと思います。

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