高校数学の質問です。 2曲線が接するときの求め方は、2つの式をまとめて判別式=0ですよね？ では、微

高校数学の質問です。

2曲線が接するときの求め方は、2つの式をまとめて判別式=0ですよね？

では、微積の2曲線が接する条件
f(a)=f(b)
f‘(a)=f‘(b)
の条件はどんなときに使えるのですか？
片方が3次関数のときですか？

No.6 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/09/08 08:57

>2曲線が接するときの求め方は、2つの式をまとめて判別式=0ですよね？

判別式とは2次方程式の判別式のこと？

もしそうなら、
2曲線 f(x), g(x) が両方とも2次関数で、f(x)-g(x)も2次関数なら
そうなりますね。
一般的な2曲線同士なら全然成り立たないです。

>では、微積の2曲線が接する条件
>f(a)=f(b)
>f‘(a)=f‘(b)

なんじゃこれ？

2曲線が陽関数 y=f(x), y=g(x) で表せる曲線で

f(a)=g(a)
f'(a)=g'(a)

なら 曲線 f, g は a で接する
だよね。

No.5 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/09/02 16:48

f(x)-g(x) が多項式であるなら「判別式だけ」で済む気はする＞#4.

実用性はさておき.

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/09/02 14:22

何言ってんのかさっぱりつかめない質問文だけど、

「判別式=0ですよね？」というからには、
「2曲線が接するとき」と言いつつ
一般の曲線ではなく二次関数のグラフしか考えてない
のではないだろうか。

二次関数のグラフ y=f(x) と y=g(x) が接する条件なら、
方程式 f(x)=g(x) が重解を持つ条件だから
「f(x)-g(x)=0 の」判別式で判定はできる。

f(x)-g(x) が二次関数でない場合は、
判別式だけでは済まないから
f(a)=g(a), f’(a)=g’(a) で計算する。
この場合、f(x), g(x) は微分可能な任意の関数でよく、
三次関数に限った話ではない。

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2023/09/02 12:59

No.2 です。

あなたが書いている

＞では、微積の2曲線が接する条件
＞f(a)=f(b)
＞f‘(a)=f‘(b)
＞の条件はどんなときに使えるのですか？

は、#2 に書いたように

　f(a) = g(a)
　f'(a) = g'(a)

なんじゃないかなあ。
#2 では「a」を「ｓ」と書きました。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2023/09/02 12:53

ものごとの「意味」を考えてみましょう。

y=f(x) のグラフと y=g(x) のグラフが「共有点を持つ」とは、「同じ (x, y) の値で両方が成り立つ」ということです。
つまり「共有点」が (p, q) であれば
　q = f(p)　　　　①
　q = g(p)　　　　②
が成り立ちます。
つまり
　f(p) = g(p)
「同じ x=p に対して、y=q で同じになる」ということ。

①②から
　f(p) - g(p) = 0
が成り立つということですから、この p は
　f(x) - g(x) = 0　　　③
の解の１つになります。

以前の質問にもありましたが「f(x) - g(x) = 0」の判別式は関係ありません。判別式は「解があるかないか」つまり「共有点があるかないか」の判定であって、「解」そのものは求まりません。
「解」そのものは③を解くことで求めます。


y=f(x) のグラフと y=g(x) のグラフが「接する」とは、接点 (s, t) で、上記の
　①　t = f(s)
　②　t = g(s)
が成立するとともに、これは
　　f(x) - g(x) = 0　　　③
が「重解 x=s」を持つことになります。
（注：これも「判別式」は「重解をもつ」ことを判定するだけで、そこから「重解そのもの：x=s」は求まりません）
それに加えて、x=s のときの「接線の傾き k が等しい」ということです。
接線の傾きは「二次導関数」から求まるので
　k = f'(s)　　　④
　k = g'(s)　　　⑤
が成り立ちます。
つまり
　f'(s) = g'(s)
「同じ x=s に対して、接線の傾き同じになる」ということ。

④⑤から
　f'(s) - g'(s) = 0
が成り立つということですから、この s は
　f'(x) - g'(x) = 0　　　⑥
の解の１つになります。

と、ここまでの話と、ご質問の

＞では、微積の2曲線が接する条件
＞f(a)=f(b)
＞f‘(a)=f‘(b)
＞の条件はどんなときに使えるのですか？

とはどんな関係があるのですか？
「２曲線」といいながら、f(x) しかないし。

＞f(a)=f(b)

　２つの異なった x=a, b で「y の値」が等しくなる、ということかな。
（そのときの「y の値」がいくつかは何でもよい）

＞f‘(a)=f‘(b)

　２つの異なった x=a, b で「y = f(x) の接線の傾き」が等しくなる、ということかな。
（そのときの「接線の傾き」は何でもよい）

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/09/02 10:40

「2曲線が接するときの求め方は、2つの式をまとめて判別式=0ですよね？」ってどういうこと? 「まとめる」とはどのような操作をさして

いて, 「判別式」というのは何がどうであるかどうかを「判別」する「式」のこと?