x軸と2点（α,0）,（β,0）で交わる放物線を表す2次関数はy=(x -α)(x -β)だと問題集

x軸と2点（α,0）,（β,0）で交わる放物線を表す2次関数はy=(x -α)(x -β)だと問題集に書いてあったのですが、なぜこうなりますか？

質問者からの補足コメント

• すみませんy＝a(x -α)(x -β)でした

    補足日時：2023/09/10 21:47

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2023/09/10 22:33

y＝a(x -α)(x -β)

と
y=0
の交点って何だと思いますか？

a≠b として
y＝b(x -α)(x -β)
と
y=0
の交点って何だと思いますか？

そのとき
y＝a(x -α)(x -β)
と
y＝b(x -α)(x -β)
の交点が「x 軸上」にあるとしたら、その交点の x 座標はどうなると思いますか？

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/09/11 09:15

y = f(x) = ax^2 + bx + c としましょう。

（α,0）,（β,0）を通るので
f(α) = aα^2 + bα + c =0
f(β) = aβ^2 + bβ + c =0
が成り立ちます。
これを解いて a, b, c の関係を求め(b, c を a, α、β で表す)
因数分解すると質問の式になります。
そう難しくはないので練習問題だと思ってやってみよう。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/09/11 02:48

多項式 f(x) が f(α)=0 を満たすので、 f(x) は x-α で割り切れる。

これは、因数定理。
f(x)=(x-α)g(x) と置く。 f(x) が二次関数なので、g(x) は一次関数。
α≠β より (β-α)g(β)=f(β)=0 ならば g(β)=0 だから、
再び因数定理より g(x) は x-β で割り切れる。
g(x)=(x-β)h(x) と置く。 g(x) が一次関数なので、h(x) は定数関数。
その定数を h(x)=a と置くと、結局 f(x)=a(x -α)(x -β) と書ける。

No.2 回答者： metabolian 回答日時： 2023/09/10 22:55

y=(x -α)(x -β) …① に、

「x=α、y=0」とか、
「x=β、y=0」って代入すると、
成り立ちますよね？
だから、「① のグラフは、点(α, 0)、
(β, 0)を通る」って言えるんです。