高2物理についてです。 図のような運動をしている時小球が点Bを通過するための初速度v0の条件はどうな

高2物理についてです。

図のような運動をしている時小球が点Bを通過するための初速度v0の条件はどうなるのでしょうか？

最高点を通過するための初速度の条件がN ≧0となるのは分かるのですが、最高点ではない場合が分かりません。

解説よろしくお願い致します。

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2023/09/25 09:30

No.3 です。

すみません、よく見直したら計算違いがあります。

訂正して全体を再掲します。

Ｂでの周速度を Vb とすると、遠心力
　m(Vb)^2 /L
と、重力の半径方向の成分
　mgsin(90° - θ) = mgcosθ
の差分が垂直抗力 N となり
　N = m(Vb)^2 /L - mgcosθ
これが N≧0 である必要があります。

つまり
　m(Vb)^2 /L ≧ mgcosθ
→　(Vb)^2 ≧ gLcosθ　　　　①

一方、力学的エネルギー保存則から
　(1/2)m(Vb)^2 + mgL(1 + cosθ) = (1/2)m(v0)^2
→　(Vb)^2 = (v0)^2 - 2gL(1 + cosθ)　　　②

①②より
　(v0)^2 - 2gL(1 + cosθ) ≧ gLcosθ
→　(v0)^2 ≧ gL(2 + 3cosθ)　　　　　←ここを訂正


最高点Ｃのときには
　θ = 0
なので
　(v0)^2 ≧ 5gL　　　　　←ここを訂正

ですよね？


（補足）
最高点Ｃのときを検算してみれば、最高点Ｃでの速さを Vc として
・遠心力：m(Vc)^2 /L
・重力：mg
従って、垂直抗力の大きさは
　N = m(Vc)^2 /L - mg

（これは、垂直抗力 N と重力 mg の合力を向心力とした円運動の運動方程式
　　N + mg = m(Vc)^2 /L　　　　　③
としてもよい。というか、教科書的にはこちらかな）

また、力学的エネルギー保存則から
　(1/2)m(Vc)^2 + 2mgL = (1/2)m(v0)^2　　　④

③と④から
　N = 2[(1/2)m(v0)^2 - 2mgL]/L - mg
　　= m(v0)^2 /L - 5mg

最高点を落下せずに通過するには
　N ≧ 0
であればよいので
　m(v0)^2 /L - 5mg ≧ 0
→　(v0)^2 ≧ 5gL

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2023/09/25 00:48

No.1&2 です。

ああ、すみません。#1、#2 は間違いです。

Ｂのときも、やはり「垂直抗力」を考えないといけませんね。
訂正します。

Ｂでの周速度を Vb とすると、遠心力
　m(Vb)^2 /L
と、重力の半径方向の成分
　mgsin(90° - θ) = mgcosθ
の差分が垂直抗力 N となり
　N = m(Vb)^2 /L - mgcosθ
これが N≧0 である必要があります。

つまり
　m(Vb)^2 /L ≧ mgcosθ
→　(Vb)^2 ≧ gLcosθ　　　　①

一方、力学的エネルギー保存則から
　(1/2)m(Vb)^2 + mgL(1 + cosθ) = (1/2)m(v0)^2
→　(Vb)^2 = (v0)^2 - 2gL(1 + cosθ)　　　②

①②より
　(v0)^2 - 2gL(1 + cosθ) ≧ gLcosθ
→　(v0)^2 ≧ 2gL(1 + 2cosθ)


最高点Ｃのときには
　θ = 0
なので
　(v0)^2 ≧ 6gL
ですよね？

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2023/09/24 23:01

No.1 です。

もちろん「最高点」と同じで、Ｂ点における「垂直抗力」（糸に付けたおもりであれば糸の張力）が「0 以上」としてもよいです。

ところで、「最高点」のときの「垂直抗力 N」はどうやって求めますか？

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2023/09/24 22:49

円運動の運動方程式を使ってもよいですが、高校生なら「力学的エネルギー保存」を使うのが簡単でしょう。

つまり、Ａ点での運動エネルギーが、Ａ点とＢ点の「位置エネルギー差」よりも大きければよいです。

ＡとＢの高さの差は
　h = L(1 + cosθ)
なので、
　mgh = mgL(1 + cosθ) < (1/2)m(v0)^2
であればよいです。