三次関数の最小を求める数学の問題で疑問点があります。

「a>0とする。0<=x<=aにおける関数y=-x^3+3x^2について最小値を求めよ」という問題なのですが、解答は
(1)0<a<3の時
(2)a=3の時
(3)3<aの時
で場合分けをしています。
a=0とa=3の時方程式の値が同じになるので、私は
(1)0<a<=3の時
(2)3<aの時
の蓋通りで場合分けしたのですが、これだと何かまずいですか？

No.5 回答者： kairou 回答日時： 2023/10/09 14:26

この場合 値の境目で 結果が変わりませんので、

解答のように ３つの分けても、
0<a≦3 と 3<a でも 0<a<3, と 3≦a でも どちらでもよいです。
（両方につけるのは 好ましくありませんが。）

No.4 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2023/10/09 09:25

答としては正解です。

正答の論理性という話から言えば、
f(0)=f(3) であることと、0<x<3の範囲のすべてのｘにおいてでf(x)＞f(0)であることが示されていれば、問題ないです。

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/10/09 00:40

「a=0とa=3の時方程式の値が同じになる」とはどういうことなのか.

「a>0とする」のだから「a=0」を考える必然性はないし, よしんば考えたとしても「方程式の値」とはいったいなんぞや.

No.2 回答者： ssawatake 回答日時： 2023/10/08 21:42

まずくは無いです。

解答は厳密に書いてると言う事です。
3が境界値で有って、どちらの場合も成立つからです。

0<a≦3の時、最小値=0
3<aの時、最小値f(a)=-a³+3a²
でも成立つし

0<a<3の時、最小値=0
3≦aの時、最小値f(a)=-a³+3a²
でも成立つ

＝はドッチについていても良いから、解り易く
0<a<3の時、最小値=0
a=3の時、最小値=0
3<aの時、最小値f(a)=-a³+3a²
と言う具合に明確に書いてる。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/10/08 19:46

まずいかどうかは、結局何通りに場合分けしたかではなく、

各場合の中の計算が円滑に行えたかどうかで決まります。
a=0 とa=3 のときの方程式の値が同じになることは重要ではなく、
0<a<3 のときの最小値を求める計算が 0<a≦3 のときの計算と
同じように書けるかどうかが問題です。

計算過程を 0<a<3 のとき、a=3 のとき、3<a のときで勧めたあと、
答えをまとめて書くときに 0<a≦3 のときと 3<a のときに
分けて書いてもいいのだと思います。