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A 回答 (3件)
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No.4
- 回答日時:
(x, y) = (r cosθ, r sinθ) で変数変換すると
(xy + x^3)/(x^2 + y^2) = cosθ(sinθ + r^2 (cosθ)^2)
というとこまではでたのですね。
あとは、(x,y)→(0,0) の極限をとればよいのですが、
重極限というのは (x,y) が (0,0) へ近づく際に途中どんな経路を通ってもよいので
(x,y) = (r cosθ(r), r sinθ(r)), r→0 という経路を考えてみます。
とりあえず、θ(r) は連続ならどんな関数でもよいとしておきましょう。
すると、lim[(x,y)→(0,0)](xy + x^3)/(x^2 + y^2) が収束するならば
lim[r→0] cosθ(r)(sinθ(r) + r^2 (cosθ(r))^2) も収束して極限は一致する
ことになります。
lim[r→0] cosθ(r)(sinθ(r) + r^2 (cosθ(r))^2) = cosθ(0) sinθ(0) ですから、
θ(r) が任意の関数では、この極限は一定の値に定まりません。
よって、問題の lim[(x,y)→(0,0)](xy + x^3)/(x^2 + y^2) は収束しません。
No.3
- 回答日時:
「(x,y)→(0,0)の極限が存在する」というのは、「(x,y)がどんな経路を通って(0,0)に近づいても、同じ極限値に行き着く」ってことです。
さもなければ極限はない。で、ご質問のように x=r cosθ, y= r sinθ と変換して「ある固定された方向θから(0,0)に近づく場合」を検討すると、
lim[r→0] (cosθ(sinθ+(r cosθ)^2)) = cosθ sinθ
となるから、方向θによって極限値が異なることが分かる。だから極限はない。
必ずしも極座標変換しなきゃならんわけではありません。例えば、x=0の場合のy→+0とy→-0を比べてみたり、同様にx=yの場合、y=0の場合、x=-yの場合、とかをチェックしてみれば、極限値が一致しないことがしばしば発見できます。
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