A 回答 (5件)
- 最新から表示
- 回答順に表示
No.4
- 回答日時:
再計算。
っていってもNo.3と同じく極座標を使うんだけど。
3変数のラグランジュ関数Lは
L(x, y, λ)=x^2 + xy + y^2 - λ(x^2 + 2y^2 - 1)
∂L/∂x=2x + y - 2λx=0 …(a)
∂L/∂y=x + 2y - 4λy=0 …(b)
∂L/∂λ=-x^2 - 2y^2 + 1=0 …(c)
(a), (b)からλを消去すると、
4xy + 2y^2 - x^2 - 2xy=0
2y^2 - x^2 + 2xy=0
xy=(x^2 - 2y^2)/2 …(d)
(c)より、x=cosθ, y=(1/√2)sinθとし、(d)に代入すると、
xy=((cosθ)^2 - (sinθ)^2)/2
x^2+xy+y^2=(cosθ)^2 + ((cosθ)^2 - (sinθ)^2)/2 + (1/2)(sinθ)^2
=(3/2)(cosθ)^2 - (1/2)(sinθ)^2
=(3/2)(1/2)(1+cos2θ) - (1/2)(1/2)(1-cos2θ)
=(3/4) + (3/4)cos2θ - (1/4) + (1/4)cos2θ
=(1/2) + cos2θ
よって、f(x,y)=x^2 + xy + y^2の最大値は1/2、最小値は-1/2となる。
No.3
- 回答日時:
この問題をラグランジュ法で?
高校生の練習問題だけど...
制約条件 g(x,y) = 0 は、 x^2 + y^2/(1/√2)^2 = 1 と書けるから
x = cosθ, y = (1/√2)sinθ と媒介変数表示できる。 これを代入して、
f(x,y) = (cosθ)^2 + (1/√2)(cosθ)(sinθ) + (1/2)(sinθ)^2
= (1 - 1/2){ 1 + cos(2θ) }/2 + (1/√2)(sin2θ)/2 + (1/2)
= (1/4)cos(2θ) + (√2/4)(sin2θ) + (1/2 + 1/4)
= (3/4) + (√3/4)sin(2θ+α) ; ただし、 sinα = 1/√3, cosα = √2/√3.
最大値は 3/4 + √3/4,
最小値は 3/4 - √3/4.
No.1
- 回答日時:
問題の指示の通り、ラグランジュの未定乗数法を用いると良い。
3変数のラグランジュ関数 Lは
L(x, y, λ)=x^2 + xy + y^2 - λ(x^2 + 2y^2 - 1)
∂L/∂x=2x + y - 2λx=0 …(a)
∂L/∂y=x + 2y - 2λy=0 …(b)
∂L/∂λ=-x^2 - 2y^2 + 1=0 …(c)
(a), (b)からλを消去すると、
2xy + y^2 - x^2 - 2xy=0
-x^2 + y^2=0 …(d)
(d)-(c)より、
3y^2 - 1=0
y=±1/√3
x=±1/√3
(x, y)=(1/√3, 1/√3), (1/√3, -1/√3), (-1/√3, 1/√3), (-1/√3, -1/√3)
x^2 + y^2=(1/3)+(1/3)=2/3
xy=±1/3
よって、f(x,y)=x^2 + xy + y^2の最大値は2/3+1/3=1、最小値は2/3-1/3=1/3となる。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
おすすめ情報
- ・漫画をレンタルでお得に読める!
- ・人生のプチ美学を教えてください!!
- ・10秒目をつむったら…
- ・あなたの習慣について教えてください!!
- ・牛、豚、鶏、どれか一つ食べられなくなるとしたら?
- ・【大喜利】【投稿~9/18】 おとぎ話『桃太郎』の知られざるエピソード
- ・街中で見かけて「グッときた人」の思い出
- ・「一気に最後まで読んだ」本、教えて下さい!
- ・幼稚園時代「何組」でしたか?
- ・激凹みから立ち直る方法
- ・1つだけ過去を変えられるとしたら?
- ・【あるあるbot連動企画】あるあるbotに投稿したけど採用されなかったあるある募集
- ・【あるあるbot連動企画】フォロワー20万人のアカウントであなたのあるあるを披露してみませんか?
- ・映画のエンドロール観る派?観ない派?
- ・海外旅行から帰ってきたら、まず何を食べる?
- ・誕生日にもらった意外なもの
- ・天使と悪魔選手権
- ・ちょっと先の未来クイズ第2問
- ・【大喜利】【投稿~9/7】 ロボットの住む世界で流行ってる罰ゲームとは?
- ・推しミネラルウォーターはありますか?
- ・都道府県穴埋めゲーム
- ・この人頭いいなと思ったエピソード
- ・準・究極の選択
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
e^2xのマクローリン展開を求め...
-
数学の質問です。 0≦θ<2πのとき...
-
積分
-
不定積分∫dx/√(1-x^2)=arcsin(x...
-
1+cosθをみると何か変形ができ...
-
積分の問題です
-
三角関数。
-
複素数zはz^7=1かつz≠1を満たす...
-
至急お願いします。 (1)y=arcta...
-
数学得意な方! cos 240度=cos...
-
すごく特殊な漸化式、一見解け...
-
内部の点から各頂点までの距離...
-
三角関数で、
-
cos2x=cosx ってなにを聞かれ...
-
cos25° 求め方教えてください。...
-
|1+e^(-iωt)|の求め方
-
x=rcosθ の微分
-
cos40°の値を求めています。
-
数学
-
方程式 √x=-1 の解
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
数学の質問です。 0≦θ<2πのとき...
-
1+cosθをみると何か変形ができ...
-
e^2xのマクローリン展開を求め...
-
積分
-
cos2x=cosx ってなにを聞かれ...
-
cos(2/5)πの値は?
-
eの2πi乗は1になってしまうんで...
-
三角関数で、
-
cos60°が、なぜ2分の1になるの...
-
複素数zはz^7=1かつz≠1を満たす...
-
不定積分∫dx/√(1-x^2)=arcsin(x...
-
cos2θ−3cosθ+ 2≧0の不等式を解...
-
△ABCにおいてAB=4、BC=6、CA=5...
-
cosΘの問題
-
自然対数eは何に使えるのですか...
-
cos2θ+cosθ+1=0
-
cos(θ-π/2)=cos(π/2-θ)になるの...
-
高校数学 三角関数
-
積分の問題です
-
数学の質問です。 円に内接する...
おすすめ情報
計算したら(b)の式が2x+y-4yλ=0になりました。