ピタゴラス数a,b,cのある関係

a²+b²=c²を満たすピタゴラス数をa,b,cとすると、a,bの内1つが
4の倍数で、他方とcは4の倍数ではないことを証明せよ。

ヤラカシはありませんので安心して、ご回答ください。

質問者からの補足コメント

• データとして
  　　(3,4,5), (5,12,13), (8,15,17), (7,24,25), (20,21,29), (9,40,41), (12,35,37)
  　　(11,60,61), (28,45,53), (33,56,65), (16,63,65)
  などがあります。

    補足日時：2023/11/10 22:55

• 

  結局、modは使わなくても簡単に解けたのですね。
  
  難しく考え、ドツボにはまってしまいました。

  No.5の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/11/11 21:17

No.5 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/11/11 13:07

ああそうか、「4の倍数」ね。

0 + 1 ≡ 1 パターンのときは、
a = 2A, b = 2B+1, c = 2C+1 と置いて
A^2 = C(C+1) - B(B+1) と変形できる。
B と B+1 のどちらかは偶数だから B(B+1) は偶数。
C(C+1) についても同様。
よって A^2 が 2 の倍数になるので、A は 2 の倍数で
a は 4 の倍数となる。

0 + 0 ≡ 0 パターンのときは、
a = 2A, b = 2B, c = 2C と置いて
A^2 + B^2 = C^2 と変形できるので、
A,B,C の(2進)桁数に関する帰納法で
0 + 1 ≡ 1 パターンに帰着できる。

この回答へのお礼

なるほど、#4さんの言うことが分かりました。

私は定理「aが奇数ならbは偶数で、逆も可。cは奇数」を
使いました。

0 + 0 ≡ 0(mod4)　は全部偶数だから不可。でよいと思
いますが。

お礼日時：2023/11/11 17:01

No.7 回答者： 胸が大きいのが悩みなの。乳首は桜色だし。 回答日時： 2023/11/11 15:45

modをなるべく使いたくないのであれば

http://oshiete.goo.ne.jp/qa/13649640.htmlのNo.6と似た方法が使えます。

連続する2つの偶数の積は8の倍数に注意。"原始"ピタゴラス数であればaとbがどちらも偶数であることはありえない。aとbがどちらも奇数であればc²は4の倍数。一方c²-2=a²-1+b²-1は8の倍数。矛盾。したがってaとbの偶奇は異なる。かりにbが奇数とすればa²+b²-1=c²-1よりa²が8の倍数。

この回答へのお礼

理解できません。m(_ _)m

お礼日時：2023/11/11 17:04

No.6 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/11/11 14:16

既約に限定するなら

a と b の一方は奇数他方は偶数で 2ab が 4の倍数, a^2+b^2 と |a^2-b^2| は奇数.

この回答へのお礼

既約にしないと、どんな数でもわりきれるから、当たり前と
思った。

残念ながら、私には何のことか理解不能。ただ、
公式　(m²-n²)²+(2mn)²=(m²+n²)²
に関連するならわかるが。

お礼日時：2023/11/11 16:40

No.4 回答者： stomachman 回答日時： 2023/11/11 00:57

あと出しジャンケンはさておき、「a,bの内1つが4の倍数」を言うには、No.1に続けてもうちょっと必要。

この回答へのお礼

#1で完了と思ったのですが、教えて下さい。

お礼日時：2023/11/11 06:49

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/11/11 00:55

質問文には「既約」なんてどこにも書いてない.

a, b の少なくとも一方が偶数なら 2ab は 4の倍数, どちらも奇数なら a^2-b^2 が 4の倍数.

この回答へのお礼

大変失礼しました。

常識と思ったのですが、違いましたね。

お礼日時：2023/11/11 06:42

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/11/10 23:46

12^2+16^2 = 20^2.

この回答へのお礼

おーっと!!!

と思ったが残念。a,b,cは既約です。

お礼日時：2023/11/11 00:02

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/11/10 23:06

教科書にも書いてあるいつものやつじゃない？

mod 4 で二乗の演算表は
　n　n^2
　0　0
　1　1
　2　0
　３　1
となる。
0 or 1 と 0 or 1 を足して和が 0 or 1 になる組み合わせは
　0 + 0 = 0 と
　0 + 1 = 1 しかない。
0 + 0 = 0 は、a,b,c がどれも偶数であることに、
0 + 1 = 1 は、偶数の二乗と奇数の二乗の和が奇数の二乗であることに
対応している。

この回答へのお礼

考えたものより簡明でした(私は modがよく理解してないので)。

というか、簡単なんですね。～(^^ )～

お礼日時：2023/11/10 23:17