No.1
- 回答日時:
教科書にも書いてあるいつものやつじゃない?
mod 4 で二乗の演算表は
n n^2
0 0
1 1
2 0
3 1
となる。
0 or 1 と 0 or 1 を足して和が 0 or 1 になる組み合わせは
0 + 0 = 0 と
0 + 1 = 1 しかない。
0 + 0 = 0 は、a,b,c がどれも偶数であることに、
0 + 1 = 1 は、偶数の二乗と奇数の二乗の和が奇数の二乗であることに
対応している。
No.4
- 回答日時:
あと出しジャンケンはさておき、「a,bの内1つが4の倍数」を言うには、No.1に続けてもうちょっと必要。
No.5ベストアンサー
- 回答日時:
ああそうか、「4の倍数」ね。
0 + 1 ≡ 1 パターンのときは、
a = 2A, b = 2B+1, c = 2C+1 と置いて
A^2 = C(C+1) - B(B+1) と変形できる。
B と B+1 のどちらかは偶数だから B(B+1) は偶数。
C(C+1) についても同様。
よって A^2 が 2 の倍数になるので、A は 2 の倍数で
a は 4 の倍数となる。
0 + 0 ≡ 0 パターンのときは、
a = 2A, b = 2B, c = 2C と置いて
A^2 + B^2 = C^2 と変形できるので、
A,B,C の(2進)桁数に関する帰納法で
0 + 1 ≡ 1 パターンに帰着できる。
なるほど、#4さんの言うことが分かりました。
私は定理「aが奇数ならbは偶数で、逆も可。cは奇数」を
使いました。
0 + 0 ≡ 0(mod4) は全部偶数だから不可。でよいと思
いますが。
No.7
- 回答日時:
modをなるべく使いたくないのであれば
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/13649640.htmlのNo.6と似た方法が使えます。連続する2つの偶数の積は8の倍数に注意。"原始"ピタゴラス数であればaとbがどちらも偶数であることはありえない。aとbがどちらも奇数であればc²は4の倍数。一方c²-2=a²-1+b²-1は8の倍数。矛盾。したがってaとbの偶奇は異なる。かりにbが奇数とすればa²+b²-1=c²-1よりa²が8の倍数。
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などがあります。
結局、modは使わなくても簡単に解けたのですね。
難しく考え、ドツボにはまってしまいました。