数的推理の問題について教えてください

現在数的推理の勉強中なのですが、画像の問題が分からず困っています。
解説欄を読んだのですが、問題の三角柱をA-E-Fを通る平面で切ると、出来る三角錐はものと三角柱の1/3という解説が理解できません。
なぜもとの三角柱の1/3になるのでしょうか？
解説お願いします。

No.3 回答者： neKo_deux 回答日時： 2024/01/07 22:57

三角柱から三角錐を切り取る考え方だと、上面と底面を含む三角錐は２つ切り出せるけど、残るのが謎図形になって直観的に分かりにくいです。

なので、三角錐をちょっと置いといて。


立方体を考えます。
立方体の中心の点を考える。
中心から８つの頂点に線を引いて切り分けると、立方体の面を含む四角推(ピラミッド型)が６つになります。
立方体の体積と、四角推の体積の比は6:1です。
次に、立方体を中心(半分)の高さで横にぶった切って、四角柱にします。
そうすると、四角柱と四角推の体積の比が3:1って事になります。

これを基本にすれば、底面の形が〇〇に変わっても〇〇柱と〇〇推の体積の比は変わらないから、1/3を使い回せるって話に出来るとか。

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/01/07 16:06

3角柱(錐)の

底面積をS
高さをh

とすると

3角柱の体積は
V0=Sh

底面からの距離がtであるような平面で3角錐を切ったときの断面積を
S(t)とすると
3角錐の体積は

V=∫_{0～h}S(t)dt

相似な図形の面積比は相似比の2乗に比例するので

(h-t)^2:h^2=S(t):S

↓

S(t)={(h-t)^2/h^2}S

V
=∫_{0～h}{(h-t)^2/h^2}Sdt
=(S/h^2)∫_{0～h}{(h-t)^2}dt
=(S/h^2)[-{(h-t)^3}/3]_{0～h}
=(S/h^2)(h^3)/3
=(1/3)Sh

∴
[3角錐の体積]=(1/3)[3角柱の体積]

No.1 回答者： 中里毅 回答日時： 2024/01/06 23:37

底面積と高さが同じ三角柱と三角錐では体積が１／３という基本です。