No.2ベストアンサー
- 回答日時:
(0≦x≦1)
f(x)
=Σ_{n=1~∞}{(n-1)x^2/( 1+(n-1)x ) - ( nx^2 /(1+nx) )}
=lim_{m→∞}Σ_{n=1~m}{(n-1)x^2/( 1+(n-1)x ) - ( nx^2 /(1+nx) )}
=lim_{m→∞}{Σ_{n=1~m}(n-1)x^2/( 1+(n-1)x )-Σ_{n=1~m}nx^2 /(1+nx)}
=lim_{m→∞}{Σ_{n=1~m-1}nx^2/(1+nx)-Σ_{n=1~m}nx^2 /(1+nx)}
=lim_{m→∞}{-mx^2 /(1+mx)}
=lim_{m→∞}{-x^2 /(x+1/m)}
=-x
f_n(x)=-x^2/(x+1/n)
とすると
任意のε>0に対して
n_0>1/εとなる自然数n_0がある
n>n_0となる任意の自然数nに対して
nx<1+nx
↓両辺をn(1+nx)で割ると
x/(1+nx)<1/n
だから
|f_n(x)+x|
=|x-x^2/(x+1/n)|
=|x/(1+nx)|
<1/n
<1/n_0
<ε
だから
f_m(x)
=Σ_{n=1~m}{(n-1)x^2/( 1+(n-1)x ) - ( nx^2 /(1+nx) )}
=-x^2 /(x+1/m)
は
-x
に
一様収束する
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