Y=aX^3+bX^2+cX+dの3次曲線で,X1~X2間の長さ(弧長)の求め方を教えてください。また、弧長から,Xの値の求め方もお願いします(逆をやれば良いだけ?)。
生産設計のプログラムで必要になりました。30年ぶりに、数学の教科書を開きましたが、全く理解できません。宜しくお願いします。一筋縄でいかないようですが?
近似式でもかまわないのですが。

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A 回答 (5件)

S(x) = √( (f(x+dx) - f(x))^2 + dx^2 )


とおいて(要するに微少部分について三平方の定理)、

int step = 10000;
double dx = (X2 - X1)/step;
double sum = .0;

for( double x=X1; x<=X2; x+=dx ) {
sum += S(x);
}

のような感じで求める数値積分ができます。
(C Styleで書いてしまいましたが、まあわかりますよね。)

一般にはstepの数を大きくすると精度が上がりますが、計算機特有の誤差の問題がいろいろあるので、気をつけないと結構な誤差がたまります(これは解析的に解いた式を計算機に計算させても同様ですが)。
この辺りは経験をつむしかないので、計算機関係の本を読みながら試してみて下さい。

例えば、パラメータや積分範囲にもよるので簡単には言えませんが、
double f( double X ) {
return a*X*X*X + b*X*X + c*X + d;
}

よりも、

double f( double X ) {
return ((a*X + b)*X + c)*X + d;
}
とかにした方がいいかも。
まあ、いろいろ試して精度のいい方法を使えばOKです。
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この回答へのお礼

有難うございました。これが一番確実な方法ですね。
橋梁の生産設計に使います。誤差は、100mに対して0.5mm程度は許されますので、
理論的に正しければ、それでよしとします。
C++で構築します。

お礼日時:2001/09/19 09:06

近似値でよければ、sを適当に小さな数として、


x1 = x
x2 = x + s
y1 = a(x1)^3+b(x1)^2+c(x1)+d
y2 = a(x2)^3+b(x2)^2+c(x2)+d
l=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)
とすればlが微小区間xから(x+s)までの線分の長さを表わしますから、
xをX1からX2までの間で上記lを累計すれば求める長さに近い値になります。
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この回答へのお礼

有難うございました。BOBさんと同じ理論ですね。
これが確実のようです。

お礼日時:2001/09/19 09:11

Nickeeさん、積分するの忘れてますよ。


x=aからx=bまでの曲線の長さは
  b
S=∫√(f'(x)^2+1)dx
  a
で表されます。
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この回答へのお礼

有難うございます。この式を更に分解して、プログラムに組めるような方法は無いのですか?難しいようであれば、微小部に分割して求める?
宜しくお願いします。

お礼日時:2001/09/18 19:12

 再度、登場



微小の斜めの長さを微小でとって、積分しなきゃいけないですね。
まちがえていました。

 だから、√((3ax^2+2bx+c)^2+1)をx1からx2まで、積分すればよいのかな。
計算は複雑になるのでかきません。
補足、質問があればどうぞ。
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この回答へのお礼

有難うございます。これって相当難しいみたいですね。

お礼日時:2001/09/18 19:04

√((dy/dx)^2+(dy/dy)^2


の公式を使えばいいような気がするのですが、

dy/dx=3ax^2+2bx+c で領域はx1~x2
dy/dy=1
よって、√((3ax1^2+2bx1+c)-(3ax2^2+2bx2+c)+1)

だと、おもうのですが、その逆は上の式と=で求めたい数をむすんで、計算するだけとおもいますが、

あまり、自信がないので、参考までに
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Aベストアンサー

こういう問題は、「日本語の文章を、数式に直して考える」訓練だと思ってください。
数式に直して愚直に計算すれば、必ず解けるようになっています。

1)「バネの伸びがおもりの重さに比例する」ということから、
y=ax+b...a,bは定数
と表されます。
x=10のときy=24、またx=15のときy=26より、

24=10a+b ...(1)
26=15a+b ...(2)
(2)-(1)より、
2=5a
よってa=0.4...(3)
(3)を(1)に代入することで
24=10*0.4+b
b=20
よって、y=0.4x+20
と表されます。

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解答には、α<β<γよりα,β,γの順に並んでいる。
     等差数列だから2β=αγ,等比数列だからb^2=acとなる。
     等差数列の考えはこれで良いが、等比の場合b^2=acとa^2=bcとc^2=abという3通りを考えなけ     ればならないみたいです。

     これと、解と係数の関係よりα+β+γ=-a
                  αβ+βγ+γα=b 
                  αβγ=-8を使って解くみたいなんですが、こっから代入しまくるら     しいんですが、どうに始めて最後まで解けばいいかわかりません。
     わかる方いましたら、ぜひ教えてください!!お願いします!! 

Aベストアンサー

>等差数列の考えはこれで良いが、等比の場合b^2=acとa^2=bcとc^2=abという3通りを考えなければならないみたいです。

そんな事はない。

条件から、α^2=βγ、or、β^2=αγ、or、γ^2=αβ。
従って、(α^2-βγ)*(β^2-αγ)*(γ^2-αβ)=0 ‥‥(1) である事が必要十分条件。
αβγ=-8 からαβ=-8/γ、βγ=-8/α、αγ=-8/β であるから (1)に代入すると (α+2)*(β+2)*(γ+2)*(α^2-2α+4)*(β^2-2β+4)*(γ^2-2γ+4)=0となる。
(α^2-2α+4)*(β^2-2β+4)*(γ^2-2γ+4)>0 より(α+2)*(β+2)*(γ+2)=0 つまり 少なくても1つの解は -2であるから原式に代入すると、b=2a ‥‥(2)

同様にして、等差数列の場合も 2γ=α+β、or、2β=γ+α、or、2α=β+γ であるから (2γ-α-β)*(2β-γ-α)*(2α-β-γ)=0 ‥‥(3)
α+β-2γ=(α+β+γ)-3α=-(3α+a)等より、(a+3α)*(a+3β)*(a+3γ)=a^3+3(α+β+γ)a^2+9(αβ+βγ+γα)a+27αβγ=0.
解と係数から、2a^3-9ab+216=0 → (2)から a^3-9a^2+108=0‥‥(4)
(4)を因数分解すると、(a+3)*(a-6)^2=0 となる。 以下、省略。

こういう場合は、出来るだけ“対称性”を使った方が良い。

>等差数列の考えはこれで良いが、等比の場合b^2=acとa^2=bcとc^2=abという3通りを考えなければならないみたいです。

そんな事はない。

条件から、α^2=βγ、or、β^2=αγ、or、γ^2=αβ。
従って、(α^2-βγ)*(β^2-αγ)*(γ^2-αβ)=0 ‥‥(1) である事が必要十分条件。
αβγ=-8 からαβ=-8/γ、βγ=-8/α、αγ=-8/β であるから (1)に代入すると (α+2)*(β+2)*(γ+2)*(α^2-2α+4)*(β^2-2β+4)*(γ^2-2γ+4)=0となる。
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[問2]x+y=1を満たす全てのx,yに対して
ax^2+2bxy+by^2+cx+y+2=0が成立するように定数a,b,cの値を定めよ。

[1の解]
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p=10-kの時(k=10-pの時)
p+1=10-kの時(k=9-pの時)より
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で 1/(10-p):(1+p)/(2p-8)/(2p-9)=7:4 から
23p^3-199p+218=0
となったのですがこれを解いてもp=6(予想される解)が出ません。
やり方が違うのでしょうか?

[2の解]
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どうすれば対称式で表せるのでしょうか?

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クラブにも入っています。
仲間の女性スノーボーダーは、だいたい165cmぐらいの人で、147cmぐらいを履いています。ただ、その長さだとかなりのレベルの滑りをする人です。初心者でしたら、145cmをお勧めします。

一般には、
身長マイナス10cmなどと言われていますが、
それは、かなり昔の話です。グラトリとか誰もしなかった頃の話。
しかも、初心者ではなくて、もう滑れる人を対象に考えられた、話。

150~155cmなんて、レベルの高い滑りをする男性の長さです。
僕は指導員ですが、メインで使う長さは150cmです。
カービングメインか、回転競技に出る時に155cmを使うかな。

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145cmで十分です。

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f(x)=2x^3+ax^2+bx+5がx=-1,2で極値をとるとき、a,bの値を求めよ。
という問題で、解答では、『f'(x)=0は異なる2解をもつので確かにx=-1,2で極値をとる。』という記述があるのですが、これはどうして必要なのでしょうか?また、これが書いてある参考書がセンター対策の本であるため、上の記述は『センターでは不要ですが…』といった感じで本文のわきに書いてあり、解答中のどこに入るべきものなのかもわかりません。
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Aベストアンサー

微分可能な関数 f(x) について、
f ' (a) = 0 は、f(a) が極値であるための必要条件でしかない。
例えば、f(x) = x^3 の場合に、
f ' (0) = 0 だが、f(0) は極値でない。

だから、記述式の答案では、
f ' (x) = 0 の解 x を求めた後で、その各 x において
f(x) が極値であるかどうかを確認しなければならない。

『 f ' (x) = 0 は異なる 2 解をもつので、確かに x = -1, 2 で極値をとる。』
という書き方は、三次関数の導関数が異なる 2 個の根を持つとき、
その 2 個はどちらも極値点である…という知識を用いている。
あるいは、やや一般化して、多項式の導関数が重根を持たないとき、
導関数の根はどれも、もとの多項式の極値点である…という知識を。
それが証明を付記せずに答案に書いてよい定理なのかどうかは、微妙だと思う。

『 x = -1, 2 の前後で、f ' (x) の符号は確かに変化しており、
f(-1), f(2) は極値である。』程度の書き方が、無難であるような気がする。
これを、f ' (x) = 0 を解いて x = -1, 2 を求めた後の位置に書いておく。

『センターでは不要ですが…』というのは、選択式のテストでは、
答えの値さえ得てしまえば、証明もヘッタクレも必要ないから。(不毛だねぇ。)

微分可能な関数 f(x) について、
f ' (a) = 0 は、f(a) が極値であるための必要条件でしかない。
例えば、f(x) = x^3 の場合に、
f ' (0) = 0 だが、f(0) は極値でない。

だから、記述式の答案では、
f ' (x) = 0 の解 x を求めた後で、その各 x において
f(x) が極値であるかどうかを確認しなければならない。

『 f ' (x) = 0 は異なる 2 解をもつので、確かに x = -1, 2 で極値をとる。』
という書き方は、三次関数の導関数が異なる 2 個の根を持つとき、
その 2 個はどちらも極値点である…という知識を用いて...続きを読む


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