実対称行列Aの

二次形式の標準化で
直交行列Pをつかって
x=Pyなる変数変換をしたとき
txAx>0とかその最大最小が固有値の最大とか最小とか
議論するときに
tyΛyなる標準形 (ラムダは固有値にならべた行列)
をつかうことについて質問です。

xがyになるところで
変数変換においてxとyが対等なことはどうかんがえますか？
例えば積分で
∫xdxを∫ydyにしてもいいですけどそれは
xとyがおなじRとかに動くときで、
たかだか線形変換なら
R^n→R^n で
対等に考えていいということですか？
またPが正則だから同型写像になてることは関係ありますか？？

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/05/17 13:33

あなたが「対等」という言葉をどんな意味で使っているのか、

定義とか説明とかしないと、質問が何言ってるのか判らない。

二次形式 (tx)Ax を考えるとき、
A は普通、対称行列(複素なら、エルミート行列)にとるから、
直交行列(複素なら、ユニタリ行列) P を使って
Λ = (P^-1)AP, Λ は対角行列, P^-1 = tP と変形できる。

対称行列のこの性質のため、
(tx)Ax = (tx)PΛ(tP)x = (t((tP)x))Λ((tP)x) = (ty)Λy, y = (tP)x
と変形できることになる。
だから、例えば、二次形式 3x₁^2 + 2x₁x₂ + 5x₂^2 を
(t(x₁ x₂))A(x₁ x₂),
A =
　　3　　2
　　0　　5
としてはダメで、
A =
　　3　　1
　　1　　5
と対称にしとく必要がある。

...ってことをふまえて、 A を Λ へ変換する行列 P には
実対称にせよエルミートにせよ P^-1 が存在する。
だから、 x から y への写像 y = (P^-1)x は全単射(一対一対応)
になっている。

あなたの「対等」というのが、この一対一対応のことを言っているなら、
「Pが正則だから同型写像になてることは関係あり」と言ってよい
のだと思う。

この回答へのお礼

えと、、ちょっと違うかなって思いました？
私は関数のように最大とかを解析するときに
歪むとか、情報が変わっちゃうようなことがおきないと保証されるのはどうしてですか？と聞きたかったです。
例えば
x^2は R -> Rと考えれば全単射でもないけど
[0, ∞) -> [0, ∞) と考えれば上絵の一対一になってます。

お礼日時：2024/05/18 09:57

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/05/18 13:35

＞ 歪むとか、情報が変わっちゃうようなことがおきないと保証されるのはどうして

意味不明な「対等」が意味不明な「情報」に置き換えられただけの気が...

変換 u = (tP)x で「歪む」ことがないのは、No.1 に書いたとおり、
A が実対称行列(複素なら、エルミート行列)である場合、
Λ = (P^-1)AP, Λ は対角行列 と変換する P は
直交行列(複素なら、ユニタリ行列)であることが判っているからです。

直交行列を表現行列に持つ一次変換は合同変換なので、
A と Λ の固有ベクトルは、座表平面上の配置が違うだけで
図形としては変化せず、長さや相互のなす角は変わりません。

また、変換 A→Λ=(tP)AP で A と Λ の固有値も変わらないので、
値域側も歪みません。

この回答へのお礼

半分くらい言いたいことにあってると思いましたけど自分で考えることがたいせつですね。

お礼日時：2024/05/19 20:23