積分定数どこまで

-1/2 + s^2
ってc^2
と同じですけど
常微分方程式の不定積分で例えば
∫2scdxをサインのに倍角かsinx = u のちかんかで答えが変わります。
違う関数に見えて定数差ていうのはどう判定するんですか？？？？？？？？？？

No.5 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/05/23 19:44

質問文中の s とか c とかいうのは、

sin x と cos x のことですか？
だとしたら、
-1/2 + (sin x)^2 と (cos x)^2 は
同じではないです。
差が定数にもなっていないから、
これは積分定数の違いで生じた違いでもない。

話のつながりがわからないのだけれど、
後半の話題は...
F(x) = ∫2(sin x)(cos x)dx を
sin の 2倍角公式を使って計算すると、
F(x) = ∫sin(2x)dx = -cos(2x)・(1/2) + A　； Aは積分定数。
　　= (-1/2){ 1 - 2(sin x)^2 } + A = (sin x)^2 + (A - 1/2).
sin x = u の置換を使って計算すると、
F(x) = ∫2u(du/dx)dx = ∫2udu = u^2 + B　； Bは積分定数。
　　= (sin x)^2 + B.
両者の違いは、積分定数を表す文字の違い
A - 1/2 = Ｂ だけです。

この回答へのお礼

ごめんなさい。コサインにxです。2倍角です。
でも、説明は腑に落ちました、ありがとうございます:-)

お礼日時：2024/05/23 20:35

No.4 回答者： syotao 回答日時： 2024/05/23 18:45

No.1についていえば

(-1/2)cos(2x)を微分するとsin2x
sin²x を微分すると2sinxcosxでこの二つは等しいから
(-1/2)cos(2x)とsin²xの差は定数になるってことです。
二つの関数の導関数が同じなら、もとの二つの差は定数です。

この回答へのお礼

ぶーーー
ごめんなさい。帰国子女のことかですか？お互い意思疎通があんまりできてない気がします。笑笑

お礼日時：2024/05/23 19:32

No.3 回答者： syotao 回答日時： 2024/05/23 16:37

うん、だからNo.1の例で説明したように2倍角とちかんで

結果がちがうように見えるけど
No.1の場合sin²x＝(1/2)(1－cos(2x))という公式があるから
二つの結果の差が1/2という定数の差しかないと言っているのです。

この回答へのお礼

違って、わたしは積分のその計算は全然できますけどなんでこうなっちゃうの？？って疑問です。(;_;)

お礼日時：2024/05/23 17:37

No.2 回答者： syotao 回答日時： 2024/05/23 13:59

まあ、見かけがちがうケースってけっこうあるけど

ケースバイケースで個々に定数差の確認をするしかないです。

この回答へのお礼

ちょっと質問が違うと思います。もう一回落ち着いてゆっくり読み直してみてください。

お礼日時：2024/05/23 15:10

No.1 回答者： syotao 回答日時： 2024/05/23 13:52

∫2sinxcosxdx=∫sin(2x)dx=(-1/2)cos(2x)

sinx=u とおくとcosxdx=du
∫2sinxcosxdx=∫2udu=u²＝sin²x=1/2－(1/2)cos(2x)だから
両方の結果の差は1/2で定数の差しかないです。