500mlの容器に3×10^23個の酸素分子がある。これらの分子の示す圧力が20mmHgであるとする

500mlの容器に3×10^23個の酸素分子がある。これらの分子の示す圧力が20mmHgであるとすると、分子の2乗平均速度はいくらか。原子量はO=16とする。
とあるのですが公式に代入して計算しても、答えの2.5×10^6に辿りつきません。
やり方を教えてください

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2024/06/11 00:45

分子の２乗平均速度を <v^2> と書けば、x, y, z 方向成分に分解すれば

　<v^2> = <vx^2> + <vy^2> + <vz^2>　　　①

です。
（ v = √(vx^2 + vy^2 + vz^2) ですからね）

これを、分子１個の vx について考えれば、容器の壁で完全弾性衝突すれば、そのときの「運動量の変化」が「力積」に等しいので、分子１個の室料をm として
　mvx - (-mvx) = 2mvx = FΔt
一方、容器を１辺 L の立方体とすれば、１回の衝突の時間は
　Δt = 2L / vx
よって
　F = 2mvx/Δt = mvx^2 /L

分子の個数を N とすれば、力の総量は
　NF = Nm<vx^2> /L

圧力は、単位面積当たりの力なので
　P = NF/L^2 = Nm<vx^2> /L^3
→　<vx^2> = PL^3 /(Nm)

vy、vz についても同様なので、①の関係を使えば
　<v^2> = 3PL^3 /(Nm)

これに、与えられた数値を代入すれば
　P = 20 [mmHg] = 1.013 × 10^5 × 20/760 ≒ 2.666 × 10^3 [Pa]
　　= 2.666 × 10^3 [N/m^2]
　　= 2.666 × 10^3 [kg/(m･s^2)]
　L^3 = 500 [mL] = 5 × 10^(-4) [m^3]
　N = 3 × 10^23 [個]
　ｍ = 32 [g]/(6.02 × 10^23 [個]) = 5.316 × 10^(-26) [kg]　←O2 分子１個の質量
より
　<v^2> = 3 × 2.666 × 10^3 [kg/(m･s^2)] × 5 × 10^(-4) [m^3] / (3 × 10^23 [個] × 5.316 × 10^(-26) [kg])
　　　　　≒ 2.5 × 10^2 [(m/s)^2]

書かれている「2.5 × 10^6」は「(cm/s)^2] の単位ですね、きっと。
上の計算は、すべて「国際単位系 (SI)」で行っています。
その書きっぷりからすると、計算途中で「単位」の取り方を間違えていませんか？