半球表面の問題

この問題がわかりません。おしえてください！！

下図のように密度の静止流体中に半径aの中空の半球が置かれている。半球表面の面密度
はσであり、その底面は水平面に直交している。z軸を重力（重力加速度：g）と逆方向にと
り、半球の対称軸をx軸として、以下の問いに答えよ。
1）半球の質量Mと重心の座標(X, Y, Z)を求めよ。
2）流体から半球に働く力を求めよ。
3）流体から半球に働く重心まわりのトルクを求めよ。

No.3 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2024/06/21 13:19

半球は、「底面」も面密度σの平板で密閉されていて、内部は真空であるということでしょうか。

そして、その半球は「密度ρ」の静止流体の中に回転することなく静止している。

そうすれば

1)「面密度σの表面」だけからなる閉じた半球の「質量」と「重心位置」を求める。

2) 中身が「密度ρの流体」で満たされた半球の「体積」から半球に働く「浮力」を求める。

3) 上記 2) の重心位置を求め、1) で求めた重心位置周りの「浮力」のモーメントを求める。

という問題です。
形状の対称性から、力のモーメントは xz 平面上で働き、各々の重心は x 軸上にあることが分かるので、その条件で求めればよいです。


原点を O
紙面に垂直に y 軸（右手系で、紙面裏→表を正方向）
x 軸からy軸右手周りに角度θ（図では半時計回り、狭い方の z軸→x軸方向）
x 軸からz軸右手周りに角度φ（図では狭い方の x軸→y軸方向）
とすれば

1) まずは、「底面」を除いた「半球面」の重心位置を求めます。
微小角度 dθ, dφ に対する球面の微小面積は、
　adθ× acosθdφ = a^2･cosθdθdφ
綿密度が σなので、その質量は
　dm = σa^2･cosθdθdφ
その重力は、鉛直下向き（z の負方向）に
　d(mg) = σga^2･cosθdθdφ
従って、O の y 軸周りの力のモーメントは、xz 平面上での腕の長さが acosφ なので
　dT = d(mg) × acosφ
　　　= σga^3･cosθcosφdθdφ　　　　①
と書けます。

従って、球面全体の力のモーメント（トルクの合計）は
①を θ：-π/2→π/2、φ：-π/2→π/2 で積分して
　T = 4σga^3　　　　②

球面の質量は、球の表面積の 1/2 つまり 2πa^2 なので
　m = 2σπa^2　　　　③
従って、重心の位置を H とすれば
　mg × OH = T
より
　2σgπa^2 × OH = 4σga^3
→　OH = 2a/π　　　　④

「底面」の重心は「減点O」であり、その質量は
　M = σπa^2
であることから、③④と合わせて全体の質量と重心位置が求まります。

半球の質量
　m + M = 2σπa^2 + σπa^2 = 3σπa^2
重心の座標：原点と④とを、質量の逆比に内分する点
　((4/3)(a/π), 0, 0)


2）半球の体積は
　(2/3)πa^3
なので、浮力は「アルキメデスの原理」から
　(2/3)ρgπa^3　　　　　　⑤


3）浮力から働く力のモーメントを求めるには、半球全体（中空でなく中身のつまった）の重心位置を求める必要があります。

半径 r (0<r≦a) における区間 dr, dθ, dφ に対する半球体の微小体積は、
　dr × rdθ× rcosθdφ = r^2･cosθdrdθdφ
と書けます。密度がρなので、その質量は
　dm = ρ r^2･cosθdrdθdφ
その重力は、鉛直下向き（z の負方向）に
　d(mg) = ρ gr^2･cosθdθdφ
従って、O の周りの力のモーメントは、xz 平面上での腕の長さが rcosφ なので
　ｄT = d(mg) × rcosφ
　　　= ρ gr^3･cosθcosφdrdθdφ　　　　⑥
と書けます。

従って、半球体全体の力のモーメント（トルクの合計）は
⑥を r：0→a、θ：-π/2→π/2、φ：-π/2→π/2 で積分して
　T = ρga^4　　　　　⑦

働く浮力は⑤なので、重心位置を P とすると、Oの周りの力のモーメントから
　⑤ × OP = ⑦
より
　(2/3)ρgπa^3 × OP = ρga^4
→　OP = (3/2)a/π

よって、中空の半球の重心周りの浮力のモーメントは。時計回りに
　② × PG = (2/3)ρgπa^3 × (OP - OG)
= (2/3)ρgπa^3 ×[(3/2)a/π - (4/3)(a/π) ]
= (2/3)ρgπa^3 ×[(1/6)a/π ]
= (1/9)ρga^4

テキトーに書いたので、計算違いがあるかも。

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/06/21 11:59

以下解き方のみ。

1)半球殻の重心(x=a/2)は良く知られてます。底面の重さも考慮した重心は求められますよね？
2)は、力の総和を求めよという話なら浮力のことだから、アルキメデスの原理で終わり。
3)は浮力の作用点(浮力のトルクの釣り合う点のx座標)を求めれば求まります。
圧力の鉛直成分のみ考えれば良いので、それ程難しくない。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2024/06/21 00:26

なんか条件が不明確ですね。

＞半径aの中空の半球

半球の「球面」以外の面は、開放しているのか、「平面」で閉鎖されているのか？
図で見ると平面で「閉鎖」されているように見えます。

「静止流体」は、半球の中にあるのか、半球の周囲にあるのか？
中にあれば「重力」になるし、周囲にあれば「浮力」になる。
その密度は？　「密度ロ」って、ひょっとして「密度ρ」ですか？

もし「静止流体」が半球の「周囲」にあるのだとすると、半球の中には何があるのですか？　真空ですか？


＞その底面は水平面に直交している。

その「底面」って、半球の「平面部分」のことですか？


この半球は、何らかの手段で空間に「静止」しているのですか？
それとも「自由落下」している？
それによって「力のかかり方」が変わります。エレベータの中で、エレベータが止まっていればふつうに重力がかかりますが、ワイヤーが切れて自由落下得居ているときには「無重力」になります。