標準偏差の計算について

標準偏差の平均と分散の計算式とそれについての解説を教えてください。

No.3 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2024/07/05 07:48

No.2です。

ちなみに、ｎ個の観測されたデータが標準正規分布に従うと仮定した場合、

このときの偏差平方和はカイ2乗分布に従いますので、偏差平方和の平均はｎ、分散は２ｎとなります。
分散は偏差平方和をｎで割ったものですから、期待値は１、分散は２／ｎとなります。これはＦ分布の性質です。

Ｆ分布から、分散の信頼区間が出ますので、「分散の違いの検定」ができます。

ところが、分散の平方根から求めた標準偏差は、偏りがありますので、正しく平均と分散を計算することはできません。

偏差平方和を（ｎー１）で割ったものを不偏分散と言いますが、その平方根を不偏標準偏差と言っている人は、統計学を学んでいない人です。
分散や不偏分散の平方根から求めた標準偏差には偏りがあります。

（そのため、品質管理の分野では「不偏化補正係数」なるものが存在します）

分散の平方根から求めない「偏りのない標準偏差」の算出法もありますが、非常に高度です。ただし、これであれば、標準偏差の平均と分散を求めることが可能です。

下記サイトを参照して下さい。

https://qiita.com/tabintone/items/be96333166dd6d …

ここにあるように、偏りのない標準偏差の式は、ガンマ関数を用いた複雑な式になります。このサイトには標準偏差の偏りの無い期待値（平均）の導出しか書いてありませんが、専門書によれば標準偏差の分散の導出も書いてあります。

No.2 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2024/07/04 09:59

得られた観測事実z から、最尤推定ではなく、ベイズ逆推定を行うと、分布の各パラメータ（μとかσとか）が分布を持つような形で推定されます。

つまり、
・平均値の平均と分散
・標準偏差の平均と分散
が算出されます。

推定後のパラメータθの分布関数をω’(θ｜z)とし、自然共役事前分布の関数をω(θ)、尤度関数をp(z｜θ)とすると、パラメータの計算式は、ベイズの定理から次のように表されます。

ω’(θ｜z)＝ω(θ)・p(z｜θ)／∫ω(θ)・p(z｜θ)dθ・・・・(1)

この事後分布ω’(θ｜z)から、パラメータθの平均や分散が求まります。
平均は、１次の積率から求まります。
よって、

E(θ)＝∫θ・ω’(θ｜z)dθ・・・・(2)

分散は、２次の中心積率から求まります。
よって、

V(θ)＝∫(θーE(θ))^2・ω’(θ｜z)dθ・・・・(3)

式(2)(3)が回答になりますが、式(1)の分母の積分については非常に高度であるため、一般にはMCMC（マルコフチェーンモンテカルロ）を使って単なる積算で行うのが一般的です。

もちろん、OpenBUGSのような専用ソフトが必要です。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2024/07/03 20:54

「標準偏差の平均と分散」って何ですか？