音や光の周波数を扱うときはフーリエ級数を使うのでしょうか？

下記の動画の２５分ぐらいの説明で、
①離散スペクトル⇒フーリエ級数
②連続スペクトル⇒フーリエ変換
の説明があります。

音や光の周波数の場合、必ず整数になるはず？なので、離散スペクトルのはずです。
（今まで意識したことがなかったですが、101.5Hzとか、2580.83Hzとかの小数点の周波数は存在せず、2057Hzとか50Hzの整数のはずです？多分）
すると、音や光の周波数を扱うときはフーリエ変換ではなく、フーリエ級数だけを使って計算することになるのでしょうか？

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下記の倍音の解説は、フーリエ変換ではなく、フーリエ級数を使って説明されています。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%80%8D%E9%9F%B3

質問者からの補足コメント

• 

  よく読めば、下記が書いてます。
  具体的に、どういうことなのでしょうか？
  
  
  ただし、この手法では基本周波数が既知であることが仮定されるほか、倍音以外の上音を含むと正常に検出できないなどの欠点があるため、実際の音声処理ではフーリエ級数を発展させたフーリエ変換と呼ばれる手法が利用されている。
  ただし、フーリエ変換にも実用上の難点が多いため、実際には離散フーリエ変換、短時間フーリエ変換などといった手法が使用されている
  
  
  https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%80%8D%E9%9F%B3

    補足日時：2024/08/15 08:44

• 

  離散フーリエ変換？？？離散なら、もはやフーリエ級数では？？？
  離散フーリエ変換とフーリエ級数は、何が異なるのでしょうか？

    補足日時：2024/08/15 09:00

• 

  離散フーリエ変換について、下記動画で確認しました。
  実際に計算機で計算する上での技術的なテクニックに過ぎない話だと感じました。
  肝の理論は、フーリエ級数とフーリエ変換だけ。
  
  
  
  

    補足日時：2024/08/15 13:30

• 

  >いいえ。人工的にわざとそうしたという場合以外、周波数が整数だなんてことが起こったらそれはマグレ中のマグレ中のマグレ中のマグレ中の…です。
  
  再度、考えたのですが、、音の場合は、よくわからないですが、、
  
  E=hν光のエネルギーEは振動数 ν に比例する（比例定数 h はプランク定数）です。
  
  ということは、理論的には、必ずプランク定数hの整数倍(振動数 ν=整数）になっているはずではないでしょうか？
  ν＝1.5なら、 hの半分の状態も存在してしまいます。

  No.5の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2024/08/15 18:41

• 

  やっぱり、間違いに気がつきました。
  No.1様の通り
  
  ＞1秒という概念自体、人がそう定義しただけなので、物理現象自体が1秒という単位時間を基準に発生するわけない。

  No.7の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2024/08/15 20:45

• 

  ＞ま、内容を理解しないまま用語ばかり振り回してみてもしょうがないんですよ。
  
  用語は振り回してないです。
  
  ここで質問している用語は、【大学数学】フーリエ解析入門(フーリエ級数展開 I)/全5講に登場します。
  
  ?list=PLk8IOH5JKvUSwYWGzRKjzCVR-JXRMQq5z
  
  
  
  小数点の周波数は存在せず、2057Hzとか50Hzの整数のはずですとかは、私の間違いです。
  
  また離散フーリエ変換は、あまり興味がないのて、ざっくりとしか理解してないです。

  No.8の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2024/08/15 23:19

• 

  フーリエ級数に関して、私の考えにいろいろと間違いのあることがわかりました。
  
  考えを正して頂き、ありがとうございました。

    補足日時：2024/08/16 19:00

No.5 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2024/08/15 14:27

> 音や光の周波数の場合、必ず整数になるはず

いいえ。人工的にわざとそうしたという場合以外、周波数が整数だなんてことが起こったらそれはマグレ中のマグレ中のマグレ中のマグレ中の…です。

> 離散スペクトルのはず

　完全に周期的な波（従って、無限に継続する。音なら、同じ音色の音が同じ大きさで太古の昔から永遠の未来まで鳴り続けている、という状況）なら、離散スペクトルになります。そればかりか、どの周波数成分も、その周波数が最低周波数成分の周波数の整数倍になります。

一方、離散スペクトルなら必ず完全に周期的な波になるかというと、そうではありません。例えば100Hzの純音と(√20000)Hzの純音を合成した波は、離散スペクトルではあるけれども、どれだけ待っても完全に同じ波形を繰り返すことはありません。

> 音や光の周波数を扱うときはフーリエ変換ではなく、フーリエ級数だけを使って計算することになるのでしょうか？

いいえ。
　フーリエ級数展開は完全に周期的な関数を扱う手段です。
　一方、フーリエ変換は周期的であるかどうかに関わらず、至る所有限の値で滑らかな関数であれば何でも対象になります。ただし、関数が完全に周期的な場合にはヒトヒネリが必要で、というのは周期関数のフーリエ変換は"ディラックのδ関数"という「超関数」で表されるからです。
　ですから、完全に周期的な関数が対象ならフーリエ級数展開、さもなければフーリエ変換、という風に使い分けるのが便利ではあります。
　ところで、「"ディラックのδ関数"でできたスパイクが有限個、一定の時間間隔で並んでいる」ということが無限に繰り返されている周期関数、というもののフーリエ級数は、「基本周波数の整数倍の周波数それぞれの振幅を列に並べて数列を作ると、それは有限の長さの数列が繰り返し無限に繰り返されている」という数列になる。そこで、「各スパイクの面積の値」の有限列から、「基本周波数の整数倍の周波数の振幅の値」の有限列への変換、と考えることができます。これが「離散フーリエ変換(DFT)」です。
　さて、DFTは数値的に計算できる。なので実験物理で「フーリエ変換」と言えば、それは大抵DFTのこと。（また"FFT"はDFTを実行する代表的なアルゴリズムです。）というわけで、「音や光の周波数を扱う」とおっしゃるその「扱う」の意味が、実測を想定した話をしているのであれば、それはDFTの対象である。しかし、無限に繰り返されている（すなわち無限に続いている）波、なんてものは現実にはないですよね。有限の長さの波の測定データを得たとして、「この一連のデータが仮に無限に反復されて（太古の昔から永遠の未来まで続いて）いたら」という仮想の「無限に続いている波」を考えて、それをDFTの対象にしているんです。
　一方、波を関数として数学的に扱うのであれば、（実測の場合とは違って）超関数が利用できますから、有限の長さの波であろうが、反復が全くない波であろうが、フーリエ変換は適用できます。

　ともあれ、フーリエ変換やフーリエ級数展開のナカミをキッチリ理解せずに用語だけを振り回してみても、的外れの話にしからならず、不毛だよ、ってことです。

この回答へのお礼

＞周波数が整数だなんてことが起こったらそれはマグレ中のマグレ中のマグレ中のマグレ中の…です。

世の中、そんなものなのですね。
わかりました。

＞一方、離散スペクトルなら必ず完全に周期的な波になるかというと、そうではありません。

そんな場合もあるのですね。
では、以下の４つの状態が存在するのでしょうか？

①離散的かつ周期的
②離散的かつ周期的でない
③連続的かつ周期的
④連続的かつ周期的でない

>ただし、関数が完全に周期的な場合にはヒトヒネリが必要で、というのは周期関数のフーリエ変換は"ディラックのδ関数"という「超関数」で表されるからです。

下記動画の２５分のところで、
・δ関数のフーリエ変換は１
・１のフーリエ逆変換はδ関数
との説明があります。

スパイク（針？）があるというは、関数が完全に周期的な場合＝１の状態、すなわち離散的な場合なのでしょうね？


https://youtu.be/iItguDMEFDU


下記の使い方でよろしいでしょうか？

①離散的かつ周期的⇒フーリエ級数
②離散的かつ周期的でない⇒フーリエ変換
③連続的かつ周期的⇒フーリエ変換
④連続的かつ周期的でない⇒フーリエ変換

お礼日時：2024/08/15 17:44

No.8 回答者： stomachman 回答日時： 2024/08/15 22:39

>いくつかの離散的な「エネルギー量子」 ε に分割できる

粒子が自由に飛んでいるのではなくて、狭い領域（量子井戸）に閉じ込められているときには、量子化が起こります。ま、内容を理解しないまま用語ばかり振り回してみてもしょうがないんですよ。

この回答へのお礼

良質な動画を見て勉強してます。


統計力学第5回 量子力学の復習
１次元井戸型ポテンシャル

予備校のノリで学ぶ「大学の数学・物理」も素晴らしいですが。
負けないぐらい村田佳樹先生の授業動画も解りやすくて素晴らしです。

https://youtu.be/uWX3bRMTP1g?list=PL490LGW4NKpBZ …

お礼日時：2024/08/15 23:09

No.7 回答者： stomachman 回答日時： 2024/08/15 19:06

> E=hν光のエネルギーEは振動数 ν に比例する（比例定数 h はプランク定数）です。

Eも ν も整数とは限らない。単にそれだけの話です。

この回答へのお礼

確かに、教科書を確認しますと、ν が整数であるとは書いてないです。

下記HPには

いくつかの離散的な「エネルギー量子」 ε に分割できるものとし・・・

と記載があります。εが離散的とういことは、ｈは定数なので、νは離散的である（連続的ではない）ということではないでしょうか？
νは離散的であるが、整数とは限らないという意味でしょうか？

その場合、例えばν=0.3のとき、ε=0.3hとなります。ｈを使った不確定性原理とか、おかしくならないでしょうか？


https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%87%8F%E5%AD%90 …

お礼日時：2024/08/15 20:20

No.6 回答者： kanta2006 回答日時： 2024/08/15 18:37

周波数はエネルギーではありませんよ。

振幅はエネルギーに影響されますが、周波数はエネルギーに影響を受けるものではありません。
根本的な部分で思い違いをしています。

この回答へのお礼

光の場合、

E=hν光のエネルギーEは振動数 ν に比例する（比例定数 h はプランク定数）です。

です。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%87%8F%E5%AD%90 …

でも、No.1でのご回答の通り

＞1秒という概念自体、人がそう定義しただけなので、物理現象自体が1秒という単位時間を基準に発生するわけない。

の通りであり、振動数 νが整数とは限らなかったです。

お礼日時：2024/08/15 20:59

No.4 回答者： kanta2006 回答日時： 2024/08/15 13:43

単位を変える話になったら、整数か小数かの話も意味ないですよね。

1.5Hzだったら存在しない値で、1500mHzだったら存在する値になるとおもうんでしょうか？

この回答へのお礼

考えますと、量子力学によるとエネルギーには最小単位があって、どんなものでも、その整数倍なはずです。
音波もエネルギーなので、整数で表されるはずです。
光の場合は、確か？振動数だけに比例するので、その考え方で良いはずです。
音の場合、振幅と振動数があるので、イマイチ、忘れました。

お礼日時：2024/08/15 18:14

No.3 回答者： kanta2006 回答日時： 2024/08/15 11:30

なんでそんな変な発想に囚われるのかが分かりません。

小数点の周波数が存在しないなら、0.1Hzとか0.0001Hzとかはどうするの？
どうやったって1Hz以上の整数の周波数だけでは表現できませんけど。
周波数って不連続なものなんですよ。

この回答へのお礼

＞0.1Hzとか0.0001Hzとかはどうするの？
秒やｍに拘らず、これらの単位を変えて振動数を整数にできないでしょうか？
それで、フーリエ級数を使うことは無理でしょうか？

お礼日時：2024/08/15 12:35

No.2 回答者： han-ka-2 回答日時： 2024/08/15 09:16

任意の信号（音とか）の最大周期を T 秒としたとき，フーリエ級数というのは最小周波数 2*π/T の整数倍の信号の重ね合わせ（級数）で表現するもの。

π が無理数だから，そもそも最小周波数が整数にならない。この最大周期が存在しないような信号（地震波とか）の場合は T を無限大と捉えるので，連続スペクトルが必要になり，フーリエ級数はフーリエ変換のような連続的なものになる。

この回答へのお礼

＞この最大周期が存在しないような信号（地震波とか）の場合は T を無限大と捉えるので，連続スペクトルが必要になり，フーリエ級数はフーリエ変換のような連続的なものになる。

大まかには、そうかもしれません。でも周期的であるか否かによるとか、ややこしいらしいです。

＞π が無理数だから，そもそも最小周波数が整数にならない。

５０Hzとか６０Hzとかは、近似値なのでしょうか？

お礼日時：2024/08/15 18:17

No.1 回答者： kanta2006 回答日時： 2024/08/15 09:01

＞（今まで意識したことがなかったですが、101.5Hzとか、2580.83Hzとかの小数点の周波数は存在せず、2057Hzとか50Hzの整数のはずです？多分）

んなわけないやん。
なんでそうなるん？
1秒という概念自体、人がそう定義しただけなので、物理現象自体が1秒という単位時間を基準に発生するわけない。

根本的なところで何か考え違いがあるのでは？

この回答へのお礼

>1秒という概念自体、人がそう定義しただけなので、物理現象自体が1秒という単位時間を基準に発生するわけない。

１個の波だけを考えた場合は、そうかもしれません。

フーリエの考えを用いると、関数 f(t) の Fourier 級数または Fourier 展開したら、別の式で表されるはずです。

つまり、 Fourier 級数で表したい場合、複数の三角関数に分解すれば、整数の周波数で表現可能ではないでしょうか？換言しますと、101.5Hzの波は、XHzとｙHzの整数の波で合成して作れるのではないでしょうか？

それとも、101.5Hzの波は、離散スペクトルのフーリエ級数は諦めて、連続スペクトルのフーリエ変換を使わざるを得ないのでしょうか？

お礼日時：2024/08/15 11:15