大学数学の問題です |r=(x,y,z)のときの1/rのラプラシアンを求めよ r=√(x^2+y^2

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質問者：fg_3
質問日時：2024/11/05 10:59
回答数：3件

大学数学の問題です　|r=(x,y,z)のときの1/rのラプラシアンを求めよ　r=√(x^2+y^2+z^2) ここでは|rをベクトル表記とします

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回答 (3件)

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No.2ベストアンサー

回答者：ありものがたり
回答日時：2024/11/05 18:08

合成関数の微分法則と

積の微分法則を使って、
△(1/r) = div grad 1/r
　　　　= div { d(1/r)/dr grad r }
　　　　= div { (-1/r^2) (↑r)/r }
　　　　= div { (-1/r^3) (↑r) }
　　　　= (grad -1/r^3)・↑r + (-1/r^3)(div ↑r)
　　　　= { d(-1/r^3)/dr grad r }・↑r + (-1/r^3)(div ↑r)
　　　　= { (3/r^4) (↑r)/r }・↑r + (-1/r^3) 3
　　　　= (3/r^5)(↑r・↑r) + (-3/r^3)
　　　　= (3/r^5)(r^2) + (-3/r^3)
　　　　= 0.
ただし、
↑r = (x,y,z),
ｒ = ｜↑r｜,
・は内積を表す。

途中、基本公式として
grad r = grad √(x^2+y^2+z^2)
　　　= ( (∂/∂x)√(x^2+y^2+z^2), (∂/∂y)√(x^2+y^2+z^2), (∂/∂z)√(x^2+y^2+z^2) )
　　　= ( x/√(x^2+y^2+z^2), y/√(x^2+y^2+z^2), z/√(x^2+y^2+z^2))
　　　= (↑r)/r,
div r = div (x,y,z)
　　　= ∂x/∂x + ∂y/∂y + ∂z/∂z
　　　= 1 + 1 + 1
　　　= 3.
を使った。