所得税のモデル

以下の様に定義します。
f(x): 収入xの時の政府による補正後の手取り
g(x): 収入xの時の税が無い状態の手取り(手取り=収入)
h(x): 収入がxの人口
(1)この時、政府の徴収額は以下の積分になりますか？

また、固定税率(累進課税でない)の場合、
f(x)=(1-a)x+b
ただし、a: 税率、b: 最低保証手取り
また、定義から
g(x)=x
計算を簡単にする為、収入と人口が反比例すると仮定すると、
h(x)=α-β*x
ただし、α: 収入が無い人の人口、β: 反比例を仮定とする場合の傾きとすると、
(2)全体の整合性は取れますか？

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/11/18 21:02

あ、しまった。

出発点の積分範囲が違ってた。

p(xstart) > p(xend) なので、
(税収総額) = ∫[p(xend),p(xstart)] (g(x) - f(x)) dp
　　　　　= ∫[xend,xstart] (g(x) - f(x)) (dp/dx) dx
　　　　　= - ∫[xstart,xend] (g(x) - f(x)) (dp/dx) dx
　　　　　= …　(中略。No.1 参照)
　　　　　= = N{ a + ((1-a)b/3){ 1/xstart^3 - 1/xend^3 } / log(xend/xstart) }.
ですね。

式を書いてる時から、何か違和感はあったんだ。
恐縮。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/11/18 19:32

ツッコミどころ満載で、どこからどう話したものか...

「政府による補正後の」というのは、どういう意味か？
控除等の話をしているであれば、 f(x) < g(x) だろうから
被積分関数に (f(x) - g(x)) が入るのはオカシイが、
政府が、課税するにあたって何か収入額をカサ増ししてくる
ということなのだろうか。極悪非道の我らが財務省も
そこまでのことをした例は知らない。

「最低保証手取り」とは何か？
基礎控除のことを言っているなら、f(x) = (1-a)(x-b) になるはず。

その上で、税収の総額は、収入が x である人口を p(x) として
∫(g(x) - f(x)) dp = ∫(g(x) - f(x)) (dp/dx) dx になるはず。

「収入と人口が反比例すると仮定」するのであれば、
p(x) = β/x だから
h(x) = dp/dx = -β/x^2 になるはずで、
h(x) = α - β*x はオカシイ。

p(x) = β/x だと、総人口が ∞ になってしまうから、
p(x) = { xstart ≦ x ≦ xend のとき } β/x,
　　　{ それ以外のとき } 0.
と改訂することにして、
総人口 N に対して
N = ∫[xstart,xend] p(x) dx = β log(xend/xstart) より
β = N / log(xend/xstart).

上記のように改訂した税収の総額は、
∫[xstart,xend] (g(x) - f(x)) (dp/dx) dx
= ∫[xstart,xend] (x - (1-a)(x-b)) (-β/x^2) dx
= (-β){ a∫[xstart,xend] 1/x dx + (1-a)b∫[xstart,xend] 1/x^2 dx }
= (-β){ a log(xend/xstart) + (1-a)b [ (-1/3){ 1/xend^3 - 1/xstart^3 } }
= N{ -a + ((1-a)b/3){ 1/xstart^3 - 1/xend^3 } / log(xstart/xend) }.

さて、計算はこうなるが、計算以前に
g(x) や p(x) の仮定が相当イイカゲンだから、
答えの値に意味があるのかどうかは大いに疑問。