解説3行目。なぜ4でわって3余る素因数が存在しないことが言えているのでしょうか。

解説3行目。なぜ4でわって3余る素因数が存在しないことが言えているのでしょうか。

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/12/27 06:15

#1訂正します

3^n-2^n=a^2+1

3^n は奇数
2^n は偶数だから
3^n-2^n は奇数だから
a^2+1 は奇数だから
a^2+1 の素因数はすべて奇数

a^2 は偶数だから
aが偶数だから
a=2mとなる整数mがある

a^2+1
=(2m)^2+1
=4m^2+1

だから

3^n-2^n=1(mod4)
だけれども

3^n-2^n は4で割って3余る素因数を持たないとはいえません

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/12/26 23:55

いかん、酷い誤字が。

でも、 a^2 + 1 に4でわって3余る素因数が偶数個
って可能性を否定するには、別の考察が必要だね。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/12/26 23:41

＞ あまりが3にならないのはわかりますが、

＞ 因数に持たない理由がわかりません。

その通りだねえ。

＞ たとえば
＞ 7(4でわって3余る)×6(4でわって2余る)=4でわって2余る数
＞ で条件を満たしそうな気がするのですが

3^n - 2^n は奇数値しかとらないから、
No.1 の考察により 3^n - 2^n = a^2 + 1 ≡ 1 (mod4)
に決まりで、4でわって2余る因数は登場しない。

でも、 a^2 + 1 に4でわって2余る素因数が偶数個
って可能性を否定するには、別の考察が必要だね。

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/12/26 22:23

3^n-2^n=a^2+1

aは偶数か奇数のどちらかだから

aが奇数のとき
a^2は奇数だから
a^2+1は偶数だから
4で割った余りは偶数だから
余りが奇数3にならない

aが偶数のとき
a=2mとなる整数mがある

a^2+1
=(2m)^2+1
=4m^2+1

だから
4で割って1余るから
余りが3にならない

この回答へのお礼

あまりが3にならないのはわかりますが、因数に持たない理由がわかりません。たとえば7(4でわって3余る)×6(4でわって2余る)=4でわって2余る数で条件を満たしそうな気がするのですが

お礼日時：2024/12/26 22:31