『笑わない数学微分積分』のΔxについて

Question

『笑わない数学 微分積分』の、Δxが表すなんとか小数が「0ではないが0として扱ってもいい」というのが曖昧で大問題というところだけをぼーっと観てたのですが、Δxを例えば小数点以下0が無量大数の無量大数乗個並ぶ0.000…0001という数字に決めればいいんじゃないでしょうか。それなら分母になれるし0として扱ってもいいし。そういう話ではないということでしょうか。

ありものがたり · Accepted Answer

ちゃんとした解析学の話は、ひとまず置いておくことにしても、
えーかげんな高校の教科書にさえ、
　lim[Δx→0] g(Δx) を求めるというのは
　g(Δx) に Δx = 0 を代入することではない！
と明記されています。

lim[Δx→0] g(Δx) というのは、Δx が 0 へ近づくとき
g(Δx) が近づく目標地点のことでした。 g(0) ではないんです。
例えば、
t ≦ 0 のとき g(t) = 0、
t > 0 のとき g(t) = 1
という関数 g(t) に対して、lim[ｔ→+0] g(t) の値はどうなりますか？

「0として扱ってもいい」が単に間違っているのです。
g(Δx) が Δx = 0 で連続な場合に だけ
lim[Δx→0] g(Δx) = g(0) が成り立ちます。
(てか、逆にそのことで ”連続” を定義すんですけど)

計算上の運用では、
我々は連続な関数を見慣れている...ってことを前提にして、
式を変形して g(Δx) が Δx = 0 で連続であることが
ひとめ見て明らかな形へ持ってけたら、
そこで lim[Δx→0] g(Δx) = g(0) を使ってもいいよね？
という扱いをしてしまいます。

それを、ただ Δx = 0 を代入したかのように誤解するから、
「0として扱ってもいい」のような間違いが生じるのです。

この、”等しい” と ”近い” を混同した奇妙な誤解が生じるのは、
小学校で「円周率は 3.14 とする」とか
中学校で「√2 は 1.414 とする」とか
高校で「log 2 は 0.301 としてよい」とか、
算数なんだか物理なんだか数学とは程遠い
イコールの運用を摺り込んでしまうことが少なからず影響している
と思えてならないんですけどね。

mtrajcp · Answer

放物線f(x)=x^2 上の異なる2点 (x,x^2),(x+Δx,(x+Δx)^2)を通る直線の傾きは {(x+Δx)^2-x^2}/Δx ={2xΔx+(Δx)^2}/Δx =2x+Δx だから Δxを0に近づけると接線の傾き 2x に近づくけれども Δxは0ではないから 2x にはなりません Δxを0とすると異なる2点 (x,x^2) (x+Δx,(x+Δx)^2) が同じ点となってしまい直線の傾きが定まらないから Δxを0とすることはできません Δxを例えば小数点以下0が無量大数の無量大数乗個並ぶ0.000…0001という数字に決めても Δxは0ではないから 2x にはなりませんどんな小さな正数 ε>0 に対してもある正数 δ>0 が存在して 0<|Δx|<δ となるどんなΔxに対しても |{f(x+Δx)-f(x)}/Δx-f'(x)|<ε となるのです f(x)=x^2 の場合はどんな小さな正数 ε>0 に対しても δ=ε が存在して 0<|Δx|<δ となるどんなΔxに対しても |{f(x+Δx)-f(x)}/Δx-f'(x)| |{(x+Δx)^2-x^2}/Δx-2x| =|{2xΔx+(Δx)^2}/Δx-2x| =|2x+Δx-2x| =|Δx| <δ =ε となるのです

finalbento · Answer

イプシロン･デルタ論法を用いた大学レベルの厳密な数学でどう言うイメージになるかはよく分かりませんが高校数学の範囲でイメージすると、Δx等を「値をゼロにする」と言った静的な見方ではなくて「値をゼロに近付けたらどうなるか」と言った動的な見方をするわけです。

Δy/Δxに対していきなりΔxにゼロを代入してしまうと「ゼロ分のゼロ」となって値が決まらなくなりますが、Δxをゼロに近付けて行く場合であればΔy/Δxは勝手な値は取れずにある一定の値に近付いて行く事になります。そして関数

y=f(x)

上のある点(a,f(a))におけるそう言った値f'(a)の事を微分係数と言い、aに対して微分係数f'(a)を対応させる関数の事を導関数と言うわけです。

春閑 · Answer

そういう話ではありません。
小数点以下の桁数が無限大であれ、ゼロではありません。

でも、あの公式は、最初はゼロではない数字で計算しておきながら、計算の最終段階でゼロにみなして計算すれば良い。という話でした。

ある時はゼロではなく、ある時はゼロ。そんないい加減な計算式を数学や科学として認めることは出来ない。そういう話です。

あなたの「小数点以下0が無量大数の無量大数乗個並ぶ0.000…0001という数字に決めればいいんじゃないでしょうか」はダメだと放送でも繰り返しコメントされていたはずです。ゼロではない数字はゼロとして扱えないのです。

finalbento · Answer

それだといくら小さくても「ゼロではない有限の値」と言う事になってΔxとして使えません。なので「そう言う話ではない」と言う事になります。

そこらへんの物知りな人 · Answer

笑わない数学を知らないからどのことを言ってるのか分からないけれど、Δxというのは、「xの変量」を指す物です。

例えば、xが1から5に変化した時はΔxは4です。
んで、Δx→0というのは、xの変化量が0に近づくとき、即ちxに近づくときという意味です。

つまるところ、Δx→0は、ある特定の数値を取らず、限りなくΔxが0になる値です。

ShowMeHow · Answer

「笑わない数学 微分積分」は知らないですが、、、

極限と関数の連続性などをちゃんと理解していれば、
lim(Δx→0)　 [{f(x+Δx)-f(x)}/Δx]
って、曖昧でもないし、何か問題があるわけでもないですし、なぜこう書かなくてはいけないかもわかるはずです。

微分積分はきっちり解析学をやってからだと普通に理解できるけど、高校の微積は演習問題として算数の続きでやるからまずいって話なら分かる。

yhr2 · Answer

＞それなら分母になれるし0として扱ってもいいし。

「0 として扱う」のであれば
　1 × Δx = 2 × Δx (= 0)
であり、「分母になれる」のであれば、その両辺を Δx で割って
　1 × Δx / Δx = 2 × Δx / Δx 
→　1 = 2

という説明も、その番組の中でしていましたよね。

『笑わない数学 微分積分』のΔxについて

ちゃんとした解析学の話は、ひとまず置いておくことにしても、

放物線f(x)=x^2 上の

そういう話ではありません。

それだといくら小さくても「ゼロではない有限の値」と言う事になってΔxとして使えません。

笑わない数学を知らないからどのことを言ってるのか分からないけれど、Δxというのは、「xの変量」を指す物です。

「笑わない数学 微分積分」は知らないですが、、、

＞それなら分母になれるし0として扱ってもいいし。

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