f(x,y)=x^3+y^3 条件x^2+y^2=1の極値の候補点を求めよ この写真の感じで計算する

f(x,y)=x^3+y^3 条件x^2+y^2=1の極値の候補点を求めよ
この写真の感じで計算するとy=0 y=xとしてでて条件の式に代入して計算をしました
答えを見るとx=0のときもあったのですがこの写真のように1を2に代入して計算したのですが逆に2を1に代入して計算するパターンもしないとしっかりと答えを出せないですか？
わかりにくくてすみません

No.4 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2025/01/08 14:41

ラグランジュの未定乗数法の話？

①、②は
(3x-2λ)x = 0 → x = 0, (2/3)λ
(3y-2λ)y = 0 → y = 0, (2/3)λ

つまり、(x, y)=(0, 任意), (任意, 0), (a, a) (aは任意）

そのうち x^2+y^2=1 を満たすのは
(x, y) = (0, ±1), (±1, 0),(±1/√(2), ±1/√(2)) (復号同順)
の6点。
極値の候補点 が停留点のことならこれで終わりかな。

f(x, y) = x^3 + y^3
これを y は 陰関数表示x^2+y^2=1で決まる関数 y(x) とすると
∂f(x, y)/∂x = 3x^2 + 3y^2y'
陰関数定理から y' = -x/y だから
∂f(x, y)/∂x = 3x^2 - 3yx = 3x(x-y) ①

x は 陰関数表示x^2+y^2=1で決まる関数 x(y) とすると
∂f(x, y)/∂y = 3x^2x' + 3y^2
陰関数定理から x' = -y/x だから
∂f(x, y)/∂y = -3xy + 3y^2 = -3y(x-y) ②

①、②から円周x^2+y^2=1上の方向微分係数が求まります。

①からx=(0, ±1) ではこの点で円の周回方向の方向微分係数の符号が変わるから極値
②からx=(±1, 0) ではこの点で円の周回方向の方向微分係数の符号が変わるから極値
①、②から(±1/√(2), ±1/√(2))ではこの点で円の周回方向の方向微分係数の符号が変わるから極値。

6点とも極値ですね。変曲点無し。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/01/08 09:19

何やってんのか判らん。

答案にそんなウワゴトみたいなもん書いたら、
読まずに 0 点だと思う。

条件 x^2+y^2=1 の下で f(x,y)=x^3+y^3 の極値を求めるのに
ラグランジュ法を使った際の計算の一部なんだろうとは思うが、
そもそも「極値の候補点を求めよ」って何や？
候補であるだけでいいなら、何も計算せんでも (x,y)∈R^2 でオシマイ。

...まあ、イチビリはこれくらいにして、
f(x,y) が微分可能なら
g(x,y,λ) = f(x,y) - (x^2+y^2-1)λ と置いて
①　∂g/∂x = 0
②　∂g/∂y = 0
③　∂g/∂λ = 0
という連立方程式を立てると、
f(x,y) の極値点はこの解の中に含まれる。

写真の①②③は、この連立方程式を正しく表している。
あとは数I じゃん。

「写真のように1を2に代入して計算した」てのが
何をどうやったのか、写真からでは判らないが、
①の λ を②へ代入したのなら
①を変形したときに { x=0 または 3x=2λ } になって
そこで x=0 の場合分けが登場してるはず。
x≠0 じゃないと、①の両辺を x で割ることができないから。

おそらくこれは、毎度おなじみ 0 除算の見落としなのだと思う。

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2025/01/08 06:12

訂正

3x²=λ2x
3y²=λy ⇒　3y²=λ2y

x²y=2λ/3=y²x → xy(x-y)=0
⇒　x²y=2λxy/3=y²x → xy(x-y)=0

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2025/01/08 05:16

3x²=λ2x

3y²=λy
ですから、上式にyを掛け、下式にxを掛けると
x²y=2λ/3=y²x → xy(x-y)=0
したがって

x=0 or y=0 or x=y
をえる。　x²+y²=1 からそれぞれ
x=0 → y=±1
y=0 → x=±1

x=y → x=y=±1/√2