なぜこのように極座標に変換できるのか教えてください 変換の手順が知りたいです

なぜこのように極座標に変換できるのか教えてください
変換の手順が知りたいです

No.6 回答者： yhr2 回答日時： 2025/01/11 11:50

No.3 です。

#5 さん＞極座標変換では、直交座標で (x,y)=(0,0) に対応するものが
線分 r=0, 0≦θ<2π になってしまい、1点に定まりません。

なので、問題の中に

「（原点以外は１対１）」

と注記しているのではないかな。

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/01/11 07:32

No.1 の訂正：

間違っていました。No.2 〜 No.4 にも同じ間違いが見られるし、
写真を見ると、引用元まで同じ勘違いをしてるように感じるんだけど。

極座標変換では、直交座標で (x,y)=(0,0) に対応するものが
線分 r=0, 0≦θ<2π になってしまい、1点に定まりません。
([1] かつ [2]) ⇔ [3] ではないのでした。([3] ⇔ [4] は問題ありません。)
表したい図形が原点を含まない場合には平和なのですが...

これに対応する態度として、
[E] 表したい図形を全てカバーする (r,θ) をとる
[A] 表したい図形に対応しうる全ての (r,θ) をとる
または、その任意の中間がありえます。

写真右側の図や No.1 は [E] の態度をとっています。
写真左側の図に付記された「原点以外は１対1」という言葉
が何を意味/要求しているのかは不明ですが。

少なくとも、式変形上は ([1] かつ [2]) ⇔ [3] ではないのでした。
どうやって訂正しようかな？
[1] かつ [2] ⇔
{ r=0 (かつ 0≦θ<2π) } または { 0<r≦2cosθ かつ 0≦θ≦π/2 }
なんかどうでしょうか。
同値変形だと、[A] の態度をとることになります。

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/01/10 19:38

(x-1)^2+y^2≦1

y≧0
r≧0
0≦θ<2π
x=rcosθ
y=rsinθ

(x-1)^2+y^2≦1
↓x=rcosθ,y=rsinθを代入すると
(rcosθ-1)^2+(rsinθ)^2≦1
r^2(cosθ)^2-2rcosθ+1+r^2(sinθ)^2≦1
r^2{(cosθ)^2+(sinθ)^2}-2rcosθ+1≦1
↓(cosθ)^2+(sinθ)^2=1だから
r^2-2rcosθ+1≦1
↓両辺から1を引くと
r^2-2rcosθ≦0
r(r-2cosθ)≦0
↓0≦rだから
0≦r≦2cosθ…(1)
↓
0≦2cosθ
↓両辺を2で割ると
0≦cosθ…(2)

y≧0
↓y=rsinθを代入すると
rsinθ≧0
↓r≧0だから
sinθ≧0…(3)

(1),(2),(3)から

0≦r≦2cosθ
0≦θ≦π/2

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2025/01/10 16:10

左の「x-y 直交座標でのハッチング部分」を、「極座標の r, θ での範囲」に変換するということですか？

直交座標から極座標への変換は、単純に
　x = r･cosθ
　y = r･sinθ
と置換すればよいです。
（ただし、１対１に対応させるため、r≧0, 0≦θ<2π とする）
あとは、与えられた条件での「r と θ の関係」「r と θ の範囲」を求めればよいです。

「与えられた条件」である左のハッチング部分は、そこに書かれたように
　(x - 1)^2 + y^2 ≦ 1 　　　①
の y≧0 の部分ということですね。

まずは、y = r･sinθ ≧ 0 から、r≧0 なので
　0≦θ≦π　　　②
と範囲が限定されます。

そのときに、①は
　(r･cosθ - 1)^2 + (r･sinθ)^2 ≦ 1
→　r^2･cos^2(θ) - 2r･cosθ + 1 + r^2･sin^2(θ) ≦ 1
→　r^2 - 2r･cosθ ≦ 0
→　r(r - 2cosθ) ≦ 0
r ≧ 0 なので、これが成立するには
　r - 2cosθ ≦ 0　→　0 ≦ r ≦ 2cosθ　　　　③
②の範囲でこれを満たすのは、さらに
　0 ≦ θ ≦ π/2　　　　④
に限定されます。

ということで、「極座標の r, θ での範囲」は
・③ つまり r ≧ 0 かつ r = 2cosθ よりも「r が等しいか小さい側」で、かつ
・④ つまり 0 ≦ θ ≦ π/2
の範囲ということになります。

これが「右」の「r-θ 平面のハッチング部分」です。

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2025/01/10 13:54

極座標ではなく 普通の xy直交座標では。

(x-1)²+y²=1 のグラフは 中心の座標が (1, 0) で 半径 1 の円ですよね。
で、y≧0 ですから x 軸から上の部分、つまり 第1象限だけ。
r=2cosθ でも、縦軸に θ、横軸に r を取れば、上と同じ事ですよね。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/01/10 13:48

極座標変換ですね。

x = r cosθ,
y = r sinθ,
ｒ ≧ 0, 0 ≦ θ < 2π
で
(x - 1)^2 + y^2 ≦ 1,　←[1]
y ≧ 0　　　　　　　←[２]
変換すると、

[1] は、
⇔　0 ≧ (r cosθ - 1)^2 + (r sinθ)^2 - 1
　　　= { r^2 - 2r cosθ + 1 } - 1
　　　= r { r - 2cosθ },
ｒ ≧ 0 なので
⇔　r = 0 または 0 < r ≦ 2cosθ.

[2] は、
⇔　ｒ sinθ ≧ 0,
ｒ ≧ 0 なので
⇔　r = 0 または sinθ ≧ 0
⇔　r = 0 または 0 ≦ θ ≦ π.

以上をまとめると、
[1] かつ [2] ⇔
0 ≦ r ≦ 2cosθ かつ 0 ≦ θ ≦ π　←[3]
となります。

そのような r が存在する θ の範囲は
0 ≦ 2cosθ となる 0 ≦ θ ≦ π/2
だけなので、

0 ≦ r ≦ 2cosθ かつ 0 ≦ θ ≦ π/2　←[4]
と書いても [3] と同値です。

この回答へのお礼

とてもわかりやすかったです
ありがとうございます

お礼日時：2025/01/10 15:51