おりの中にオオカミ4頭とヒツジ4頭を入れるとき、オオカミの数がヒツジの数より多くなると、ヒツジが食べ

おりの中にオオカミ4頭とヒツジ4頭を入れるとき、オオカミの数がヒツジの数より多くなると、ヒツジが食べられてしまうという。
そうならないように、全頭をオリに入れる方法は何通りか求めよ。
ただしオオカミもヒツジも一頭ずつオリに入れるとする。

解答は19通りです。高校受験の問題です。解き方を教えて下さい。

No.9 回答者： usa3usa 回答日時： 2025/01/30 15:27

カタラン数で計算できますね

C4+C3=１４＋５＝１９

１回めが羊の場合　C4　通り
１回めが狼の場合
　狼狼　ありえない
　狼羊　C３　通り

No.8 回答者： tknakamuri 回答日時： 2025/01/29 23:55

14通りはオオカミ>ヒツジ=0匹 でヒツジを食えるとした

場合ですね。0匹のヒツジは食えません。

これも総当たりで確認しました。

No.7 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/01/29 22:40

14通りにしているサイトってのは、コレ↓かな？

全く同じ問題を扱ってるし。
https://stchopin.hatenablog.com/entry/2023/06/18 …

C(4) = 14 を答えにしたってことは、一番最初にオオカミをオリに入れる
入れ方をカウントしてない。 オオカミ = 1 > 0 = ヒツジ になってしまうから
カタラン数には入らないが、オリにいないヒツジを食べることはできないからね。
質問文どおりの問題なら、19 通りのほうが正しい。

No.6 回答者： Tacosan 回答日時： 2025/01/29 21:20

文章に惑わされなければカタラン数で計算できる.

高校受験でカタラン数を使うのもどうかとは思うが....

うん, 14通りってしてるサイトが見付かった.

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/01/29 14:05

動物たちをオリに入れる前に、まず計画表を書こう。

「狼」４文字と「羊」４文字を一列に並べて
「(狼w文字)羊(狼x文字)羊(狼y文字)羊(狼z文字)羊(狼a文字)」 と書き、
この文字列に従って左から順番にオリに入れてゆく。

各時点でヒツジがオオカミに食べられずに全てをオリに入れる条件は
w ≦ 1,
w+x ≦ 1,
w+x+y ≦ 2,
w+x+y+z ≦ 3,
w+x+y+z+a = 4.
だが、 a は最後の等式によって一意に決められるので、
4本の不等式を満たす非負整数 w,x,y,z の組み合わせを数えればいい。

不等式を
0 ≦ w ≦ 1,
0 ≦ x ≦ 1-w,
0 ≦ y ≦ 2-w-x,
0 ≦ z ≦ 3-w-x-y.
と書き変えれば解るように、(w,x,y,z) の組の総数は

Σ[w=0→1] Σ[x=0→1-w] Σ[y=0→2-w-x] Σ[z=0→3-w-x-y] 1
= Σ[w=0→1] Σ[x=0→1-w] Σ[y=0→2-w-x] { 3-w-x-y + 1 }
= Σ[w=0→1] Σ[x=0→1-w] Σ[y=0→2-w-x] { 4-w-x-y }
= Σ[w=0→1] Σ[x=0→1-w] { (4-w-x)(2-w-x+1) - (1/2)(2-w-x)(2-w-x+1) }
= Σ[w=0→1] Σ[x=0→1-w] (1/2){ (18-9w+w^2) - (9-2w)x + x^2) }
= Σ[w=0→1] (1/2){ (18-9w+w^2)(1-w+1) - (9-2w)(1/2)(1-w)(1-w+1) + (1/6)(1-w)(1-w+1)(2(1-w)+1) }
= Σ[w=0→1] { (1/2)(3-w)(6-w)(2-w) - (1/4)(9-2w)(1-w)(2-w) + (1/12)(1-w)(2-w)(3-2w) }
= { (1/2)3・6・2 - (1/4)9・1・2 + (1/12)1・2・3 } + { (1/2)2・5・1 - (1/4)7・0・1 + (1/12)0・1・1 }
= 19.

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2025/01/29 10:41

1匹檻に入れるごとに、オオカミの数と羊の数に対する檻に入れる方法の数を数えると

1匹目
①オ1ヒ0 1通り
②オ0ヒ1 1通り

2匹目
①オ2ヒ0 1通り
①オ1ヒ1 2通り
③オ0ヒ2 1通り

3匹目
①オ3ヒ0 1通り
②オ1ヒ2 3通り
④オ0ヒ3 1通り

4匹目
①オ4ヒ0 1通り
②オ2ヒ2 3通り
③オ1ヒ3 4通り
④オ0ヒ4 1通り

5匹目
①オ2ヒ3 7通り
②オ1ヒ4 5通り

6匹目
①オ3ヒ3 7通り
②オ2ヒ4 12通り

7匹目
①オ3ヒ4 19通り

８匹目
①オ4ヒ4 19通り

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/01/29 09:49

羊羊羊羊狼狼狼狼1

羊羊羊狼羊狼狼狼2
羊羊羊狼狼羊狼狼3
羊羊羊狼狼狼羊狼4
羊羊狼羊羊狼狼狼5
羊羊狼羊狼羊狼狼6
羊羊狼羊狼狼羊狼7
羊羊狼狼羊羊狼狼8
羊羊狼狼羊狼羊狼9
羊狼羊羊羊狼狼狼10
羊狼羊羊狼羊狼狼11
羊狼羊羊狼狼羊狼12
羊狼羊狼羊羊狼狼13
羊狼羊狼羊狼羊狼14
狼羊羊羊羊狼狼狼15
狼羊羊羊狼羊狼狼16
狼羊羊羊狼狼羊狼17
狼羊羊狼羊羊狼狼18
狼羊羊狼羊狼羊狼19

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2025/01/29 09:16

これも総当たりで19通りを確認しました。

オオカミ＞ヒツジ　かつ ヒツジ ≧ 1 のみNGにしないと
いけないのでちょっと手間取りました。

簡単な数え方は未発見。高校でやるのかな？　記憶になし。
まあ、私の高校時代は50年前なので、今は違うのかも。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2025/01/29 02:44

全部書いて指折り数える.