グレゴリー級数

πの計算に用いられるtan-1(x)の展開式
つまり、グレゴリー級数の話題です。

テイラー(Brook Taylor 1685-1731)により、現在で言う
テイラー展開が発表される４０年も前にでてきたグレゴリー級数
π/4=1-1/3+1/5-1/7+1/9-・・・

はどのように導出されたのでしょうか？

質問者からの補足コメント

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  テイラーの定理は、テイラーの発想なんでは？

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2025/02/07 18:23

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  剰余項はコーシー、ラグランジュらでは？

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2025/02/07 19:50

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/02/07 20:28

＞ 剰余項はコーシー、ラグランジュらでは？

今は、テイラー展開(無限級数)の話をしているんでね。
テイラー展開を開発したのは、テイラーより前の
グレゴリーだと言われてるって話。
剰余項は、人によって違うし。

この回答へのお礼

了解っす！

お礼日時：2025/02/07 20:37

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/02/07 19:03

ほんまです。

テイラーの定理は、剰余項についてはテイラーの発想かもしれませんが、
関数をテイラー展開することは、テイラーが教科書を書いた時点では
学生に講義で教えるくらいには枯れた定番の手法だったのです。
テイラー展開を開発したのは、グレゴリーだと言われています。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/02/07 18:14

テイラー展開を開発したのは、マチン・グレゴリー子弟だと言われています。

マチンもグレゴリーも円周率の級数公式に名前を遺す人物ですね。
マクローリン・テイラー展開がテイラーの名で知られているのは、
テイラーが開発したからではなく、テイラーが書いて大学教育の定番になった
解析学の教科書を通じて学生たちに普及したからです。
「テイラーの本に載ってる例のあの級数展開」ってことですね。
実際そのテイラーの教科書では、関数の冪級数展開のことを
「マクローリン氏の展開」と呼んで紹介していたそうです。
テイラーの教科書が書かれたのは、既に研究が進んで
学生に教えるくらいには普及した後の話。それ以前に
マチンやグレゴリーは関数の冪級数展開を研究に使っていたのです。

グレゴリーの公式は arctan のマクローリン展開そのものであり、
導出は、等比級数の公式 1/(1+x^2) = Σ[k=0→∞] (-x^2)^k を
両辺 x で積分することで得ることができます。

この回答へのお礼

それほんまでっか・・・

お礼日時：2025/02/07 18:19