双六で何回サイコを振れば上がれるのか？

スタートを0マスとして、正確な6面サイコロを振って、出た目の数だけ進むというルールとします。ゴールをMマスとして、何回サイコロを振ると上がれるか、その期待値は？という問題です。
ぴったりゴールに止まらなければ、戻ってやり直すとかいうのは無しで、単純に出た目の合計がM以上になれば上がりとします。

サイコロの目の期待値が3.5なのだから、Mが十分大きければ、M÷3.5くらいだろうと想像できますが、実際にプログラムで確認すると0.476190476くらい差があって、これはおそらく10/21でしょう。M／3.5＋10／21　くらいになるのではないかと。でも10/21って何でしょう。
数学的に説明できないでしょうか。

No.6 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/02/18 13:27

高次方程式を解くのはたいへんなので、

λ₁～λ₆ の具体的な値は求めずに
C₁ の値を得る方法を考えてみます。

E の一般項は、
E(n) = (2/7)n + C₁λ₁^n + C₂λ₂^n + C₃λ₃^n + C₄λ₄^n + C₅λ₅^n + C₆λ₆^n.
C₁～C₆ は初期条件で決まる定数、
λ₁～λ₆ は漸化式の特性方程式
λ^6 = (1/6)(λ^5 + λ^4 + λ^3 + λ^2 + λ + 1) の解でした。

この方程式は ⇔ (λ - 1)(6λ^5 + 5λ^4 + 4λ^3 + 3λ^2 + 2λ + 1)
と変形できるため、
λ₁ = 1, g(x) = 6x^5 + 5x^4 + 4x^3 + 3x^2 + 2x + 1 と置くと
λ₂～λ₆ は方程式 g(λ) = 0 の解です。

E の係数は、Ai = Ciλi, i=1～6 で置き換えて
E(n) = (2/7)n + A₁ + A₂λ₂^(n-1) + A₃λ₃^(n-1) + A₄λ₄^(n-1) + A₅λ₅^(n-1) + A₆λ₆^(n-1).
と書いたほうが、あとあと記述が楽かな。

E の初期条件は E(n) = (7/6)^(n-1), n=1～6 だったので、
E(1) = 1　　　 = (2/7)　 + A₁ + A₂　　　+ A₃　　 + A₄　　 + A₅　　 + A₆,
E(2) = 7/6　　 = (2/7)・2 + A₁ + A₂λ₂　 + A₃λ₃　 + A₄λ₄　 + A₅λ₅　 + A₆λ₆,
E(3) = (7/6)^2 = (2/7)・3 + A₁ + A₂λ₂^2 + A₃λ₃^2 + A₄λ₄^2 + A₅λ₅^2 + A₆λ₆^2,
E(4) = (7/6)^3 = (2/7)・4 + A₁ + A₂λ₂^3 + A₃λ₃^3 + A₄λ₄^3 + A₅λ₅^3 + A₆λ₆^3,
E(5) = (7/6)^4 = (2/7)・5 + A₁ + A₂λ₂^4 + A₃λ₃^4 + A₄λ₄^4 + A₅λ₅^4 + A₆λ₆^4,
E(6) = (7/6)^5 = (2/7)・6 + A₁ + A₂λ₂^5 + A₃λ₃^5 + A₄λ₄^5 + A₅λ₅^5 + A₆λ₆^5.

左辺ごと右辺ごとに 6E(6) + 5E(5) + 4E(4) + 3E(3) + 2E(2) + E(1) を計算すると、
g(7/6) = (2/7)(1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^5 + 6^2)
　　　　　　+ A₁g(1) + A₂g(λ₂) + A₃g(λ₃) + A₄g(λ₄) + A₅g(λ₅) + A₆g(λ₆)
　　　 = (2/7)・91　+ A₁・21 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0
になって
C₁ = A₁ = (1/21)( g(7/6) - (2/7)・91 )
　　　　= (1/21)( 36 - 26 )
　　　　= 10/21.

今回の g(x) は 5次式でしたが、高校数学でも
2次式や 3次式に対して類似の方法が使われることがあります。

この回答へのお礼

素晴らしい回答ありがとうございました。
単に双六で何回サイコロを振れば上がれるかという問題が、意外な難問になったので、驚きました。
実は、自分でもやってみて、期待値が漸化式に行き着く事には気づきました。
しかし、特性方程式は6次になる事が分かり、これは解けないと思ったのですが、こんな方法があるとは知りませんでした。

お礼日時：2025/02/18 19:46

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/02/17 14:19

No.4 のリンク先は、サイコロを振る回数の期待値 E(M) の

漸化式を正しく求めていますが、そこから先は
数値実験による推測までですね。
E(M) が (2/7)M+(10/21) に漸近することを予想はしているが、
数学的に説明はしていない。

E(M) の漸化式
E(n) = (1/6)E(n-1) + (1/6)E(n-2) + (1/6)E(n-3) + (1/6)E(n-4) + (1/6)E(n-5) + (1/6)E(n-6) + 1
は、 E(n) = f(n) - (2/7)n と置けば、斉次線型漸化式
f(n) = (1/6)f(n-1) + (1/6)f(n-2) + (1/6)f(n-3) + (1/6)f(n-4) + (1/6)f(n-5) + (1/6)f(n-6)
と変形できる。
質問は、lim[n→∞] f(n) = 10/21 なのか？
という問題に置き換えられる。

斉次線型漸化式の解法は決まっている。
特性方程式 λ^6 = (1/6)λ^5 + (1/6)λ^4 + (1/6)λ^3 + (1/6)λ^2 + (1/6)λ + (1/6)
を解いて漸化式の固有値 λ = λ₁, λ₂, λ₃, λ₄, λ₅, λ₆ を求めれば、
一般解は f(n) = C₁(λ₁)^n + C₂(λ₂)^n + C₃(λ₃)^n + C₄(λ₄)^n + C₅(λ₅)^n + C₆ (λ₆ )^n
と書ける。
C₁, C₂, C₃, C₄, C₅, C₆ は、初期条件 E(1), E(2), E(3), E(4), E(5), E(6) で決まる定数である。

今回の f(n) の特性方程式は、λ = 1 と -1 < λ < 0 の範囲に 1 個の実数解、
あとは 2 組の共役虚数解を持ち、λ = λ₁ = 1 以外の解は ｜λ｜ < 1 になっている。
なので、n を大きくすると f(n) ≒ C₁ に近づいてゆき、 E(n) ≒ (2/7)n + C₁ となる。

このような定数 C₁ があるということは、上記の話で定性的に説明はつくのだが、
C₁ = 10/21 かどうか確かめようとすると、実際に
λ^6 = (1/6)λ^5 + (1/6)λ^4 + (1/6)λ^3 + (1/6)λ^2 + (1/6)λ + (1/6)
を解いて λ₁, λ₂, λ₃, λ₄, λ₅, λ₆ を求め、
C₁, C₂, C₃, C₄, C₅, C₆ を決定しなくてはならない。

6次方程式(λ = 1 は判っているから、残りの 5次方程式)を解くのが、たいへんなんだ。

No.4 回答者： garagerand 回答日時： 2025/02/16 21:41

私もかつて知りたくて調べたことがありました。

神戸の六甲アイランド高校さんのグループレポートがシンプルでわかりやすかったです。
https://www.kobe-c.ed.jp/_view/rki-hs/attach/get …
まさに10/21を地道に導き出されてました。
ご参考になればと思います。

この回答へのお礼

ありがとうございました。
検索してみて、このサイトは私も見つけていました。
しかし、この10/21は私と同じように、計算結果からの推測の様ですね。

お礼日時：2025/02/18 19:49

No.3 回答者： fadklsj 回答日時： 2025/02/16 21:20

サイコロを振って出た目の数だけ進むゲームで、ゴール M マスに到達するまでのサイコロを振る回数の期待値についてですね。

ご質問の要約:

・スタート地点は 0 マス。
・6面サイコロを振り、出た目の数だけ進む。
・ゴール M マス以上になったら上がり。
・ぴったりゴールでなくても良い。戻ってやり直しもない。
・サイコロを振る回数の期待値を求めたい。

期待値は M/3.5 くらいと予想されるが、プログラムで確認すると 0.476... (約 10/21) のずれがある。

期待値は M/3.5 + 10/21 くらいになるのではないかと予想。

10/21 という値の数学的な説明を知りたい。

回答:

ご指摘の通り、サイコロの目の期待値が 3.5 なので、M が十分に大きい場合、平均的には M マス進むのに M/3.5 回程度のサイコロを振る必要があると考えるのは自然です。

しかし、実際にはシミュレーションで確認されたように、M/3.5 に加えて約 10/21 のずれが生じます。このずれは、サイコロの目が離散的な値であることと、目標マスを「以上」でクリアとするルールに起因します。

なぜ M/3.5 だけでは不十分なのか？

もしサイコロの目が連続的な値で、平均値が 3.5 であれば、M/3.5 という単純な計算で期待値は近似できるでしょう。しかし、サイコロの目は 1, 2, 3, 4, 5, 6 という離散的な値しか取りません。

また、「M マス以上」で上がりとするルールのため、目標マスをちょうど超えてしまうことが頻繁に起こります。例えば、残り 2 マスの時に 3 が出れば 1 マスオーバーしてしまいます。このオーバーシュートの平均的な量が、期待値を M/3.5 からずらす要因となります。

10/21 という値について

残念ながら、この 10/21 という値を初等的な数学のみで厳密に導き出すのは非常に難しいです。この値を数学的に説明するためには、もう少し高度な確率論の知識、例えば再生理論 (Renewal Theory) や マルコフ連鎖 (Markov Chain) の考え方を用いる必要があります。

簡単に言えば、10/21 は、サイコロの目の離散性とオーバーシュートによって生じる、平均的な余分な進行距離を補正するための項と考えることができます。

直感的な説明

完全に厳密な証明ではありませんが、直感的な説明を試みます。

サイコロの目の偏り: サイコロの目は平均値 3.5 を中心に分布していますが、常に 3.5 ずつ進むわけではありません。1 や 6 のように、平均から大きく外れる目が出ることもあります。この偏りが、期待値を単純な M/3.5 からずらす要因の一つです。

オーバーシュート: ゴール M マスに「以上」で到達すれば良いルールのため、多くの場合、目標マスを少し超えてしまいます。この平均的なオーバーシュート量が、振る回数を少しだけ増やす方向に働きます。

これらの要因が複雑に絡み合い、結果として約 10/21 という補正項が現れると考えられます。

より厳密なアプローチ (参考)

もしより厳密な解析に興味があれば、以下のキーワードで調べてみてください。

再生理論 (Renewal Theory): この理論は、ある事象が繰り返し起こるまでの時間（この場合はサイコロを振る回数）の期待値を扱うのに適しています。

マルコフ連鎖 (Markov Chain): 現在の状態（現在のマス数）のみが未来の状態に影響を与える確率過程です。この問題をマルコフ連鎖としてモデル化し、期待値を計算することができます。

これらのアプローチを用いることで、10/21 という値が近似的に導き出せる可能性がありますが、計算はかなり複雑になります。

まとめ

サイコロを振ってゴールを目指すゲームの期待値は、単純な M/3.5 ではなく、約 M/3.5 + 10/21 で近似できます。

ずれの原因は、サイコロの目の離散性とオーバーシュートです。

10/21 という値を厳密に数学的に説明するには、高度な確率論の知識が必要です。

実用上は、M が十分に大きければ M/3.5 + 10/21 という近似式で十分な精度が得られます。

ご質問の「10/21 って何でしょう」という問いに対して、完全に初等的な説明は難しいのですが、上記の説明で少しでも理解が深まれば幸いです。

もしさらに詳しい情報や、より厳密な説明が必要な場合は、お気軽にお尋ねください。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。
しかし、期待値の漸化式自体は
E(n)=(E(n-1)+E(n-2)+E(n-3)+E(n-4)+E(n-5)+E(n-6))/6+1という、
割と単純で綺麗な数式になるようです。
ただ、No.5,6の回答にあるように、この漸化式の一般項を求めるには6次方程式を解く必要がある、というのが難点の様です。

お礼日時：2025/02/18 19:59

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2025/02/16 21:11

M/3.5 だと、最後の１回の期待値「3.5」に対して

・1～3 の目だと上がれない
ということになるので、補正が必要ということなのでしょうね。

この回答へのお礼

そういう事なのだと思います。
No.1の回答にもあるように、マス目から余る分ともいえると思います。文章では色々と表現できますね。
ありがとうございました。

お礼日時：2025/02/18 20:11

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/02/16 20:48

出た目の合計がM以上になって、余るマス数のぶんでしょうね。