①=0, ②=1, ④=2, ⑥=1, ⑧=3, ⑨=0 と書かれた6枚のカードがあります。丸付きの

①=0, ②=1, ④=2, ⑥=1, ⑧=3, ⑨=0
と書かれた6枚のカードがあります。丸付きの文字は表に書いてある数字で、もう一方は裏に書いてある数字です。
それぞれのカードの裏に書かれた数の合計が4になり、表に書かれた数の積が16になるよう、3枚のカードを選びます。3枚のカードの組み合わせはどのようにすれば早く求まりますか？

例: 表｛①, ②, ⑧｝裏｛0, 1, 3｝
(表の数の積=16、裏の数の和=4 が成り立つ。)

樹形図もありますが大変なので、手早く求められる方法があれば知りたいです。
わかる方よろしくお願いいたします。

No.2 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2025/02/07 08:24

(1) 積が16 = 2⁴なのだから2以外の素因数は使えない。

なので、素因数3を含む⑥, ⑨は使えないカードであり、最初から除外。
(2) ①=0は"表"の積も"裏"の和も変えないカードだから、使っても使わなくても良いカード。
(3) ②(2¹), ④(2²), ⑧(2³) で16を作るには ⑧×②, ④×④, ④×②×② のどれかだが、同じカードが1枚ずつしかないから ⑧×②しか選びようがない。（一応これも、「枝が1本しかない樹形図」だ。）
(4) で、都合3枚にするには(2)の「使っても使わなくても良いカード」を追加するしかない。
(5) すると、⑧,②,①の"裏"の和が4になっている。
(6) つまり、ご質問の「例」に書いてあるのが唯一の答だとわかる。

(7) ところで、"表"が①(2⁰), ②(2¹), ④(2²), ⑧(2³)のカードは、どれもその"裏"にご丁寧にも「"表"は2の何乗か」が書いてある。つまり、"表"の積が2ⁿになれば、"裏"の和は自動的にnになる。（だから(5)は実は要らなかったのだ。）

…と、言葉にすると長くなるが、実際には秒殺です。

　しかし問題の設定をちょっと変えて、カードの裏表にいろんな組み合わせがある（すなわち(7)のようなアホミタイな対応がなく④=3や①=1などのカードが入っていて、そして"表"の積や"裏"の和がもっと大きい）場合だと、(3)の「樹形図」がもっと複雑になり、複数の候補のうちから"裏"の和が合うやつを探すことになる。

この回答へのお礼

皆様回答ありがとうございます。
きちんと求めようとするとやはり樹形図なのですね。選び方が最も分かりやすかったstomachman様をベストアンサーとさせていただきます。
この質問をするきっかけとなった問題があるのですが、自分なりに皆様の回答を参考に未だ解決出来ておりません。
先程数学カテで投稿させていただきましたので、もし宜しければそちらも見ていただけると幸いです。
ありがとうございました。

お礼日時：2025/02/07 11:03

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2025/02/07 19:13

>15通りしかないから

訂正。
①②④⑧から3つ選ぶから
4C3=4通り。

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2025/02/07 13:08

掛けて16になるのは

①②⑧しかないよね。
15通りしかないから数秒でわかります。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/02/07 08:49

解を漏れなく見つけるには、樹形図でしょ。

樹形図の枝を早く刈るには、
(1) 積の条件を先に考える
(2) 表の数字は、なるべく大きい数を先に使う順で考える
(3) 表の条件が合う組み合わせの中から、裏の条件も合うものを選ぶ
の手順がよいと思う。

今回の問題では、裏から先に考えても当てはまる組み合わせは少ないが、
一般論としてはね。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2025/02/07 03:49

その例だと表だけで決まっちゃうからあまりおもしろくないんじゃないかなぁ.

なお一般論としては結局樹形図に戻る気がする.