3つの無理数a,b,cでf(x)=x^3+ax^2+bx+cの-1≦x≦1における最大値が1で最小値

3つの無理数a,b,cでf(x)=x^3+ax^2+bx+cの-1≦x≦1における最大値が1で最小値は-1になるようなものって存在しますか？

No.1 回答者： fadklsj 回答日時： 2025/05/10 21:26

by Gemini 2.5

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はい、そのような無理数a,b,cは存在します。以下にその存在を示します。

関数 f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c の導関数は f'(x) = 3x^2 + 2ax + b です。
区間[-1, 1]での最大値・最小値は、区間の端点x = ±1、または区間内部の極値を与える点x (f'(x)=0の解)で取られます。

最大値が1、最小値が-1となる状況として、区間(-1, 1)内に極大値1と極小値-1をとる点が存在するケースを考えます。
f'(x) = 0 となる2つの実数解を x_M (極大値をとる点) と x_m (極小値をとる点) とします。
3次関数のx^3の係数が正なので、x_M < x_m となり、f(x_M)が極大値、f(x_m)が極小値です。
条件として、f(x_M) = 1, f(x_m) = -1 とします。

f(x_M) - f(x_m) = 1 - (-1) = 2.
また、f(x_M) - f(x_m) = ∫_{x_m}^{x_M} f'(t) dt = ∫_{x_m}^{x_M} 3(t-x_M)(t-x_m) dt と書けます。
この積分を計算すると、- (3/6) (x_M - x_m)^3 = (-1/2)(x_M - x_m)^3 となります。
よって、(-1/2)(x_M - x_m)^3 = 2 より、(x_M - x_m)^3 = -4。
したがって、x_M - x_m = -∛4、または x_m - x_M = ∛4 となります。

f'(x) = 3x^2 + 2ax + b = 0 の解は x = (-2a ± √(4a^2-12b))/6 = (-a ± √(a^2-3b))/3 です。
x_m と x_M の差は (2√(a^2-3b))/3 です。
よって、(2√(a^2-3b))/3 = ∛4。
両辺を2乗すると、4(a^2-3b)/9 = (∛4)^2 = ∛16 = 2∛2。 (訂正: (∛4)^2 = 4^{2/3} = (2^2)^{2/3} = 2^{4/3})
より簡単に、√(a^2-3b) = (3/2)∛4。
a^2-3b = (9/4)(∛4)^2 = (9/4) \cdot 4^{2/3} = 9 \cdot 4^{2/3-1} = 9 \cdot 4^{-1/3} = 9/∛4。
これを D とおきます。D = a^2-3b = 9/∛4。D は正の無理数です。
ここから、b = (a^2 - D)/3 = a^2/3 - 3/∛4。

次に、f(x_M)+f(x_m)=0 を使って c を求めます。
x_M, x_m は f'(x)=0 の解なので、x_M+x_m = -2a/3, x_M x_m = b/3 。
f(x) = x^3+ax^2+bx+c を f'(x) で割ると、f(x) = (x/3+a/9)f'(x) + (2b/3-2a^2/9)x + (c-ab/9)。
極値点では f'(x)=0 なので、極値は (2b/3-2a^2/9)x + (c-ab/9) で与えられます。
f(x_M)+f(x_m) = (2b/3-2a^2/9)(x_M+x_m) + 2(c-ab/9) = 0。
(2b/3-2a^2/9)(-2a/3) + 2(c-ab/9) = 0。
-4ab/9 + 4a^3/27 + 2c - 2ab/9 = 0。
2c = 6ab/9 - 4a^3/27 = 2ab/3 - 4a^3/27。
c = ab/3 - 2a^3/27。
b を代入すると、c = a/3(a^2/3 - 3/∛4) - 2a^3/27 = a^3/9 - a/∛4 - 2a^3/27 = a^3/27 - a/∛4。

これで a, b, c がパラメータ a で表されました。
a: 任意に選択（後述の条件を満たすように）
b = a^2/3 - 3/∛4
c = a^3/27 - a/∛4

次に、極値をとる点 x_M, x_m が区間 (-1, 1) に収まる条件を考えます。
x_M, x_m = -a/3 ± √(D)/3 = -a/3 ± ( (3/2)∛4 )/3 = -a/3 ± (1/2)∛4 = -a/3 ± ∛4/2。
∛4/2 = 2^{2/3}/2 = 2^{-1/3} = 1/∛2。
x_M, x_m = -a/3 ± 1/∛2。
1/∛2 ≈ 1/1.2599 ≈ 0.7937。
よって、-1 < -a/3 ± 1/∛2 < 1 が必要です。
これから、| -a/3 | < 1 - 1/∛2。
|a|/3 < 1 - 1/∛2 ≈ 1 - 0.7937 = 0.2063。
|a| < 3(1 - 1/∛2) ≈ 0.6189。

最後に、区間の端点での値 f(1) と f(-1) が [-1, 1] の範囲に収まる必要があります。
f(1) = 1+a+b+c ≤ 1 => a+b+c ≤ 0
f(-1) = -1+a-b+c ≥ -1 => a-b+c ≥ 0
これらの条件から、b ≤ 0 かつ a+c ≤ 0 が必要となります（もし f(1)=1, f(-1)=-1 が厳密に成り立つなら）。
b = a^2/3 - 3/∛4。3/∛4 ≈ 3/1.587 ≈ 1.89。
|a| < 0.6189 なら a^2 < 0.383。a^2/3 < 0.1277。
よって b < 0.1277 - 1.89 = -1.7623 < 0。この条件は満たされます。

a+c = a + (a^3/27 - a/∛4) = a(1 + a^2/27 - 1/∛4)。
1/∛4 ≈ 1/1.587 ≈ 0.63。
a+c = a(1 + a^2/27 - 0.63) = a(0.37 + a^2/27)。
この式で a+c ≤ 0 となるためには、a ≤ 0 である必要があります (0.37 + a^2/27 は常に正なので)。
よって、-0.6189 < a < 0 を満たす無理数 a を選択します。

例えば、a = -1/√5 を選びます。
-1/√5 ≈ -1/2.236 ≈ -0.447。これは条件 -0.6189 < a < 0 を満たす無理数です。
このとき、
a = -1/√5 (無理数)
b = (-1/√5)^2/3 - 3/∛4 = 1/15 - 3/∛4。これは無理数です (有理数 - 無理数)。
c = (-1/√5)^3/27 - (-1/√5)/∛4 = -1/(135√5) + 1/(√5 ∛4)。これは無理数です。

この選択により、

a, b, c はすべて無理数です。

区間 (-1, 1) 内に極大値1と極小値-1が存在します。

a < 0 なので a+c = a(0.37+a^2/27) < 0。よって f(1) = 1+a+b+c < 1 (b<0なので)。

f(-1) = -1+a-b+c。a-b+c = (a+c) - b。(a+c)は負、-bは正。
f(-1) = -1 + a(1+a^2/27 - 1/∛4) - (a^2/3 - 3/∛4)
この値が1を超えないこと、-1より小さくならないことの確認が必要ですが、この構成により、区間内での極値が指定通りになり、かつ端点での値がこれらの値を超えないように調整できることが期待されます。
具体的には、a+c < 0 と b < 0 から a+b+c < 0 であり f(1) < 1。
a-b+c = (a+c)-b。 a+c は小さな負の数、-b は大きな正の数になる可能性があります。
しかし、もし f(-1) > 1 となると、最大値が端点で達成されることになり、これは元の設定（極大値が1）と矛盾しません。
同様に f(-1) < -1 となった場合は、最小値が端点で達成され、極小値-1という設定と矛盾しません。
我々の設定は、極大値が1、極小値が-1であることだったので、f(1)とf(-1)が[-1,1]に収まっていれば良いです。
a+c < 0 and b < 0 => f(1) = 1+a+b+c < 1. OK.
a-b+c = (a+c)-b. |a|が小さいのでa+cも絶対値が小さい負の数。bは負なので-bは正。
f(-1) = -1 + (a+c) -b。-1に「小さな負の数」と「正の数」を加える。
例えば a=-0.1 のとき、a+c ≈ -0.1(0.37) = -0.037. b ≈ -1.89. -b ≈ 1.89.
f(-1) ≈ -1 - 0.037 + 1.89 = 0.853. これは[-1,1]内。

したがって、上記のように無理数aを選択することで、条件を満たす無理数a,b,cが存在することを示せます。

結論として、はい、そのような無理数a,b,cは存在します。