高校数学 ベクトルの計算

空間に，1辺の長さが1の正四面体OABCがある．OBの中点をＭ，OCを1:2に内分する点をＮとする．3点Ａ,Ｍ, Ｎを通る平面上の動点Ｐと点Ｏとの距離の最小値を求めよ．また， そのときのOP↑をOA↑,OA↑,OB↑,OC↑を用いて表せ．

という問題なのですが、(ベクトルの矢印省きます)
AH=2sAM+3tAN (s,tは実数)とおくと、
|OH|^2=3(s+(8t-3)/6)^2+(37t^2-9t+7/4)
となり、sとtの値がかなり面倒くさい値になってしまいます。(調べてみるとsもtもかなりシンプルな数になるっぽいのですが

|OH|^2=3(s+(8t-3)/6)^2+(37t^2-9t+7/4)
がすでに間違っているのでしょうか？それともこの後のやり方が間違っているのでしょうか？
tは37t^2-9t+7/4が最小値を取る時のt、sはs=(-8t+3)/6だと思ったのですが。

No.7 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/06/01 16:28

AH = 2sAM + 3tAN (s,tは実数) は、変形すると

H - A = 2s(M - A) + 3t(N - A) から
H = (1-2s-3t)A + 2sM + 3tN.

(質問文の H) = (No.2 の P) = (No.3 の P),
(質問文の 2s) = (No.2 の s) = (No.3 の t),
(質問文の 3t) = (No.2 の t) = (No.3 の u),
(質問文の 1-2s-3t) = (No.2 の u) = (No.3 の s)
の関係がある。 いや、これはやこしかったね。

質問文の |OH|^2 = 3(s+(8t-3)/6)^2 + (37t^2-9t+7/4) は、
No.2 の記号では |P|² =(1/108)(81s² + 144st + 508t² - 162s - 468t + 270),
No.3 の記号では |P|² = (1/108)(81t² + 144tu + 508u² - 162t - 468u + 270),
　　　　すなわち |P|² = (1/108)(508s² + 872st + 445t² - 548s - 566t + 310)
となって、少なくとも No.3 とは一致していない。

ここに至るまでの計算に、何か間違いがあったんじゃないの？
何をどう計算したのかは、質問文に書いてないから判らないけど。

ちな、No.3 の |P|² = (1/36)(28s² + 8st + 7t² + 4s - 2t + 4) は、
質問文の記号では |OH|^2 = 3s^2 + 8st - 3s + 7t^2 - 5t + 1
　　　　　　　　　　　　= 3(s + (8t-3)/6)^2 + ((5/3)t^2 - t + 1/4)
となる。検算の助けになれば幸い。

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/06/01 09:40

|OH|^2=3(s+(8t-3)/6)^2+(37t^2-9t+7/4)

がすでに間違っている.正しくは

|OH|^2=3(s+(8t-3)/6)^2+(5t^2/3-t+1/4)

tは
5t^2/3-t+1/4=5(t-3/10)^2/3+1/10
が最小値
1/10
を取る時の
t=3/10

s
は
s=(-8t+3)/6=(-8(3/10)+3)/6=(-12/5+15/5)/6=(3/5)/6=1/10

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/06/01 05:34

#1間違えました訂正です

|OA|=|OB|=|OC|=|AB|=|BC|=|CA|=1
(OB,OC)=(OA,OB)=(OA,OC)=1/2
OM=(1/2)OB
ON=(1/3)OC
AH=2sAM+3tAN
OH-OA=2s(OM-OA)+3t(ON-OA)
OH=2sOM+3tON+(1-2s-3t)OA
OH=sOB+tOC+(1-2s-3t)OA

|OH|^2
=|sOB+tOC+(1-2s-3t)OA|^2
=s^2+t^2+(1-2s-3t)^2+st+s(1-2s-3t)+t(1-2s-3t)
=s^2+t^2+st+(1-s-2t)(1-2s-3t)
=3s^2+7t^2+8st-3s-5t+1
=3s^2+8st-3s+7t^2-5t+1
=3s^2+(8t-3)s+7t^2-5t+1
=3{s^2+(8t-3)s/3}+7t^2-5t+1
=3{{s+(8t-3)/6}^2-(8t-3)^2/36}+7t^2-5t+1
=3{s+(8t-3)/6}^2-(8t-3)^2/12+7t^2-5t+1
=3{s+(8t-3)/6}^2-(64t^2-48t+9)/12+7t^2-5t+1
=3{s+(8t-3)/6}^2+7t^2-5t-(16t^2-12t)/3-3/4+1
=3{s+(8t-3)/6}^2+(21t^2-15t-16t^2+12t)/3+1/4
=3{s+(8t-3)/6}^2+(21t^2-16t^2-15t+12t)/3+1/4
=3{s+(8t-3)/6}^2+(5t^2-3t)/3+1/4
=3{s+(8t-3)/6}^2+{5(t^2-3t/5)}/3+1/4
=3{s+(8t-3)/6}^2+{5{(t-3/10)^2-9/100}}/3+1/4
=3{s+(8t-3)/6}^2+{5(t-3/10)^2-9/20}/3+1/4
=3{s+(8t-3)/6}^2+5(t-3/10)^2/3-3/20+5/20
=3{s+(8t-3)/6}^2+5(t-3/10)^2/3+1/10
≧1/10

|OH|≧1/√10

t-3/10=0
t=3/10
s+(8t-3)/6=0
s+(8*3/10-3)/6=0
s+(12/5-3)/6=0
s+(12/5-15/5)/6=0
s+(-3/5/6)=0
s-1/10=0
s=1/10
1-2s-3t=1-2/10-9/10=-1/10

OH=(1/10)OB+(3/10)OC-(1/10)OA

↑OP=-(1/10)↑OA+(1/10)↑OB+(3/10)↑OC
のとき最小値
|OP|
=
1/√10

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2025/05/31 21:44

ベクトルを完全に無視.

簡単のため全体を 6√2倍して O(0, 0, 0), A(6, 6, 0), B(6, 0, 6), C(0, 6, 6) とおくと M(3, 0, 3), N(0, 2, 2) となる. んで A, M, N を通る平面の方程式を ax+by+cz+d=0 とおくと
6a+6b+d=0, 3a+3c+d=0, 2b+2c+d=0
だから c=2b, d=-6b, a=0 つまり方程式は y+2z-6=0.

この平面上にあって O からの距離が最小の P はある実数 t を使って P(0, t, 2t) と書け t=6/5 だから OP = (6/5)√5 = 6/√5. これは 6√2倍したあとの距離なのでもとに戻すと (6/√5)÷(6√2) = 1/√10.

さらに直線 OP と平面ABC (x+y+z-12=0) との交点 Q は Q(0, 4, 8) になり,
A'(0, 0, 6), B'(0, 6, 0), C'(6, 0, 0) と Q'(6, 2, -2) との位置関係が
Q' = (-1/3)A' + (1/3)B' + C'
だから Q = (-1/3)A + (1/3)B + C. P に戻せば
P = Q/4×(6/5) = (3/10)Q = (-1/10)A + (1/10)B + (3/10)C.

ところで
「AH=2sAM+3tAN (s,tは実数)」とおいた真意はなんなんだろうか....

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/05/31 19:58

ラグランジュは、ちょっと大げさじゃない？

OA↑,OB↑,OC↑を基底にとって成分表示すりゃいいんだな
ってのは誰でも考えるとして、
|A| = |B| = |C| = 1,
A・B = B・C = C・A = 1/2,
M = (1/2)B,
N = (1/3)C,
P = sA + tM + uN, s + t + u = 1
から
|P|² = P・P
　　= (sA + t(1/2)B + u(1/3)C)・(sA + t(1/2)B + u(1/3)C)
　　= s²A・A + (1/4)t²B・B + (1/9)u²C・C + stA・B + (1/3)tuB・C + (2/3)usC・A
　　= s² + (1/4)t² + (1/9)u² + (1/2)st + (1/6)tu + (1/3)us
　　= s² + (1/4)t² + (1/9)(1-s-t)² + (1/2)st + (1/6)t(1-s-t) + (1/3)(1-s-t)s
　　= (1/36)(28s² + 8st + 7t² + 4s - 2t + 4)
までは一本道。

その後は、単純に平方完成だけで済む。
|P|² = (1/36){ 28s² + (8t + 4)s + (7t² - 2t + 4) },

28s² + (8t + 4)s + (7t² - 2t + 4)
　= 28{ s² + ((8t + 4)/28)s } + (7t² - 2t + 4)
　= 28{ (s + (2t + 1)/14)² - ((2t + 1)/14)² } + (7t² - 2t + 4)
　= 28(s + (2t + 1)/14)² + { - 28((2t + 1)/14)² + (7t² - 2t + 4) }
　= 28(s + (2t + 1)/14)² + (9/7)(5t^2 - 2t + 3),

5t² - 2t + 3 = 5{ t² - (2/5)t } + 3
　= 5{ (t - 1/5)² - (1/5)² } + 3
　= 5(t - 1/5)² + 14/5
より
|P|² = (1/36){ 28(s + (2t + 1)/14)² + (9/7){ 5(t - 1/5)² + 14/5 } }
　= (7/9)(s + (2t + 1)/14)² + (5/28)(t - 1/5)² + 1/10.

この式を見て、
|P|² ≧ 1/10. 等号成立は s + (2t + 1)/14 = 0, t - 1/5 = 0 のとき。
すなわち
|P| ≧ 1/√10. 等号成立は s = -1/10, t = 1/5 のとき。
このとき、
P = sA + t(1/2)B + (1-s-t)(1/3)C
　= (-1/10)A + (1/10)B + (3/10)C.

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2025/05/31 17:03

「解き方」は誰でも同じだとお思いなのだろうかな。

　例えばOA↑ とか言っているのは点Aの位置ベクトル（Aと書くことにする）と点Oの位置ベクトル（Oと書くことにする）の差、つまり
　　OA↑ = A - O
です。めんどくさいから全部位置ベクトルだけで書けば、
　　P = Ms + Nt + Au
であり、ただしs, t, uは実数で、
　　s + t + u - 1 = 0
という制約条件が付いている。また問題の設定によれば
　　M = (1/2)O + (1/2)B
　　N = (2/3)O + (1/3)C
ですんで、
　　P = ((1/2)O +(1/2)B)s+ ((2/3)O + (1/3)C)t + uA
ここで
　　O = 0 (原点）
と決めてしまえば
　　P = (1/2)Bs + (1/3)Ct + uA
です。

PとOの距離は
　　|P| = |s(1/2)B+ t(1/3)C + uA|
です。これを最小化するには、|P|²の最小化をやっても同じこと。そこで内積を「・」と書くことにして
　　|P|² = ((1/2)Bs+ (1/3)Ct + Au)・((1/2)Bs+ (1/3)Ct + Au)
　　　= (1/2)²|B|²s² + (1/3)²|C|²t² + |A|²u² +
　　　　　2(1/6)(B・C)st + 2(1/3)(C・A)tu + 2(1/2)(A・B)su
ところで、A, B, C, Oが一辺1の正四面体の頂点になっている。すなわち
　　|A|² = |B|² = |C|² = 1
であり、しかも⊿ABCは一辺1の正三角形なので
　　A・B = B・C = C・A = 1/2 （=K と書くことにする。）
というわけで
　　|P|² = (1/4)s² + (1/9)t² + u² + (K/3)st + (2K/3)tu + Ksu
である。そこでラグランジュの未定乗数法を用いて
　　L = |P|² + λ(s + t + u - 1)
とおいて
　　∂L/∂s = 0
　　∂L/∂t = 0
　　∂L/∂u = 0
　　∂L/∂λ = 0
という連立方程式を解けばいいですね。
　実際に微分すると、
　　(1/2)s + (K/3)t + Ku + λ= 0
　　(2/9)t + (K/3)s + (2K/3)u + λ= 0
　　2u + (2K/3)t + Ks + λ= 0
　　s + t + u - 1 = 0
という連立一次方程式です。（いや、計算間違いしてるかも。）

　もちろん、未定乗数法を使わずに、|P|²の右辺にu = 1 - s - t を代入してuを消去しておいてから
　　∂|P|²/∂s = 0
　　∂|P|²/∂t = 0
という連立一次方程式を解くのでもOK。そこはお好みで。

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/05/31 16:48

|OA|=|OB|=|OC|=|AB|=|BC|=|CA|=1

(OB,OC)=(OA,OB)=(OA,OC)=1/2
OM=(1/2)OB
ON=(1/3)OC
AH=2sAM+3tAN
OH-OA=2s(OM-OA)+3t(ON-OA)
OH=2sOM+3tON+(1-2s-3t)OA
OH=sOB+tOC+(1-2s-3t)OA

|OH|^2
=|sOB+tOC+(1-2s-3t)OA|^2
=s^2+t^2+(1-2s-3t)^2+st+s(1-2s-3t)+t(1-2s-3t)
=s^2+t^2+st+(1-s-2t)(1-2s-3t)
=3s^2+7t^2+8st-3s-5t+1

s=x+a
t=y+b
とすると

|OH|^2
=3(x+a)^2+7(y+b)^2+8(x+a)(y+b)-3(x+a)-5(y+b)+1
=3x^2+6ax+3a^2+7y^2+14by+7b^2+8xy+8bx+8ay+8ab-3x-3a-5y-5b+1
=3x^2+3a^2+7y^2+7b^2+8xy+8ab+(6a+8b-3)x-3a+(14b+8a-5)y-5b+1

6a+8b-3=0
14b+8a-5=0
とすると
24a+32b-12=0
42b+24a-15=0
10b-3=0
b=3/10
6a+12/5-3=0
10a+4-1=0
a=-3/10
s=x-3/10
t=y+3/10

|OH|^2
=3x^2+27/100+7y^2+63/100+8xy-72/100+9/10-(3/2)+1
=3x^2+7y^2+8xy+58/100
=3(x+4y/3)^2+5y^2/3+58/100
≧58/100

|OH|≧√58/10

s=-3/10
t=3/10

OH=(-3/10)OB+(3/10)OC+(7/10)OA

↑OP=(7/10)↑OA-(3/10)↑OB+(3/10)↑OC
のとき最小値
|OP|
=
√58/10