数学Ａ 順列、組み合わせ

復習の範囲で問題を解いているのですが、次の問題の解き方で躓いたのでアドバイスお願いいたします。

■問１
区別ができないボール10個を区別が出来ない4個の箱に分ける方法は何通りあるか求めよ。
ただし空の箱があってもよいものとする。


ボールと箱の両方が区別されないので式が思いつきませんでした。
書き出せば答えは簡単に求められるのですが、うまく解く方法を教えていただきたいと思います。

No.4 回答者： sunasearch 回答日時： 2005/06/28 18:06

#1です。

いろいろとまちがってすみません。。。
ご指摘の通りです。

計算式の予想は、１０個を４つの箱という問題を、
７個を３つの箱
６個を３つの箱
・・・
１個を３つの箱
０個を３つの箱
という小さな部分問題に分解してその和を考える。

そして同様の操作を、再帰的に繰り返す形になると思うのですが、うまく定式化できるか不明です。

この回答へのお礼

お礼で少し示しましたが、自然数ｎを自然数の和で表す場合の数について、ｎと項数の関係式に法則が分かれば代入するだけなのですが。

自然数を自然数の和の形にする方法が何通りあるか。というような問題を、過去に、ある数学掲示板にて考えた記憶があるのですが忘れてしまいました…。

もう少し自力で考えてみます…。
ご存知の方は回答お願いいたします。

お礼日時：2005/06/28 18:33

No.3 回答者： taktta 回答日時： 2005/06/28 17:53

空箱0個このとき：が書いてないので

ボール４つを箱に１つずつ入れて、
残り６個を４つに分ける方法を考えて、
７111,6211,5311,5221、4411、4321、4222、3331、3322、の９通り

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
4個の箱全てにボールを入れる場合の数については、合っていますね。

【10】【9,1】【8,2】【8,1,1】【7,3】
【7,2,1】【7,1,1,1】【6,4】【6,3,1】【6,2,2】
【6,2,1,1】【5,5】【5,4,1】【5,3,2】【5,3,1,1】
【5,2,2,1】【4,4,2】【4,4,1,1】【4,3,3】【4,3,2,1】
【4,2,2,2】【3,3,3,1】【3,3,2,2】
0は省略しています。

で全てなのですが…。

※No.1のお礼の
＞空箱3個の場合は
は、『空箱1個の場合は』の間違いです。

お礼日時：2005/06/28 18:02

No.2 回答者： chie65536 回答日時： 2005/06/28 17:22

この問題文の「区別ができない」は「見た目が同じ」と言う事で「１番目のボールと２番目のボールは区別しない。

１番目のボールと２番目のボールが入れ替わったパターンは同じパターンとみなす」と言う事です。

箱も同様で「最初の箱に１０個全部、残りは空」と「２つ目の箱に１０個全部、残りは空」と「３つ目の箱に１０個全部、残りは空」と「最後の箱に１０個全部、残りは空」は区別せず、同じパターンとみなす、と言う事です。

そう考えると
１０＋０＋０＋０
９＋１＋０＋０
８＋２＋０＋０
８＋１＋１＋０
７＋３＋０＋０
７＋２＋１＋０
７＋１＋１＋１
６＋４＋０＋０
６＋３＋１＋０
６＋２＋２＋０
６＋２＋１＋１
のように「入れた数が左から降順になるパターン」だけ数えれば良いと言う事になります。

ここまで書けば、どういう式を立てれば良いか判ると思います。
（これ以上書くと答えズバリになってしまいますので、これ以上は控えます）

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
そこまでは分かっているのですが、式はうまい具合に導出されるのでしょうか…。

答え自体は書き出した結果『23通り』なのですが、ボールの数や箱の数が変数であったり、幾つかで区別されるような条件にした場合に適用される式はどのように導かれるのかと、解法から悩んでおります…。

この問題とは直接関係ありませんが、自然数を自然数の和に分割する場合のこと（＝箱が無限である場合の問題）も計算してみたのですが、まとまりませんでした。

とりあえず、具体的な値（ボール10個、箱4個）という問題でさえ、式を導出できていないので解答(?)を教えていただきたいのですが…。
因みに、宿題とかの問題というより数学としての内容なので解法等、全て教えていただければ光栄です。

お礼日時：2005/06/28 17:43

No.1 回答者： sunasearch 回答日時： 2005/06/28 17:02

式での計算は難しいと思いますよ。

できたとしても、列挙する方が簡単かと。

とりあえず、空箱の数で場合分けして、

空箱３このとき：１通り

空箱２このとき：
19,28,37,46,55の５通り

空箱１このとき：
ボール３つを箱に１つずつ入れて、
残り７個を３つに分ける方法を考えて、
511,421,331,322の４通り

で合計１０通りとかいう感じでしょうか。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
空箱2個までについては納得できるのですが、空箱3個の場合は『空箱1個で、3個の箱それぞれに2個以上ボールを入れる場合の数』なのでしょうか…？
間違った解釈をしていたらすみません。

式での計算は難しいのですかねぇ…。

お礼日時：2005/06/28 17:46