円周率が無理数な理由

円周率は円周を直径で割った数。円周の長さは一本の綱と考えれば長さを測れて有理数。直径も有理数。
割った答えも有理数のはずです。なのにπは無理数。


この説明の非を教えてください。

No.8 ベストアンサー 回答者： chie65536 回答日時： 2005/07/02 16:12

円周の長さは測れているようで、実は測れていません。

もし測ったとすると、きっと以下のような事が起きます。

「３より長いな。４までは行かない。じゃ、目盛りを０．１単位にして、と」
「３．１より長いな。３．２までは行かない。じゃ、目盛りを０．０１単位にして、と」
「３．１４より長いな。３．１５までは行かない。じゃ、目盛りを０．００１単位にして、と」
「３．１４１より（以下略）」

この「目盛りを１０分の１づつ細かくして測り直し」をずっと繰り返す事になります。

死ぬまで繰り返しても終らないかも知れませんし、１０００万年繰り返した後に「ピッタリ」になるかも知れません。

延々と繰り返しても終らないか、または、どこかで終りを迎えるかは、試す事が不可能です。

しかも「測ってピッタリになれば有理数」は正しそうに思えますが、この「ピッタリになる」は線に太さのない幾何学の世界でしか成り立ちません。

つまり、どんなに細い線を書いても太さが存在してしまう現実世界では「有理数の長さの物でも、ピッタリ測る事は不可能」なのです（メジャーや物差しに付いてる「目盛りの線」の太さをゼロに出来ない限り「このくらい」と言う誤差を含んだ長さしか測れない）

ですので、問題文の「円周の長さは一本の綱と考えれば長さを測れて有理数」の部分の「長さを測れて」という前提が間違っています。

それ以前に「現実世界で平面に真円を描くのが不可能」なんですけどね（「限りなく平面に近い凹凸のある面上に、限りなく真円に近い曲線を、限りなくゼロに近い太さの線で描く」と言うのは可能だけど、元から誤差を含んだ物を測る限りは結論は出ない）

この回答へのお礼

みなさんありがとうございました。「一本の綱は計れる、つまり数直線上にある」は実数の定義であり、それは有理数と無理数に分かれるということですね。その一本の長さを測ることが非常に難しく正確に測れないということですね。だから、循環小数にはならない＝分数にできない＝有理数ではないということだったんですね。

お礼日時：2005/07/02 20:38

No.11 回答者： mina5 回答日時： 2005/07/03 01:08

つまり、どんなに細い線を書いても太さが存在してしまう現実世界では「有理数の長さの物でも、ピッタリ測る事は不可能」なのです（メジャーや物差しに付いてる「目盛りの線」の太さをゼロに出来ない限り「このくらい」と言う誤差を含んだ長さしか測れない）

というＮＯ８の人の回答ですが私は現実的なものはどんなものでもはかれる。
数学的な長さは数学的観念論理の産物で現実のものとは関係ないと思います。
現実には原子レベルまでいけばものさしのメモリはつけられなくなります。

この回答へのお礼

みなさんありがとうございました。数学って面白いですね！

お礼日時：2005/07/15 20:43

No.10 回答者： mina5 回答日時： 2005/07/03 01:01

よく直線の原点上へ正方形（長さ１）の一辺をのせて、その対角線ルート２

をコンパスのような感じで直線上にもってきてルート２を直線上に表現させていますが、それはあなたの論法でいえば測れることになるのですか。それとも測れないのでしょうか。つなは渡せると思いますが。

No.9 回答者： mina5 回答日時： 2005/07/03 00:54

円周の長さは一本の綱と考えれば長さを測れて有理数。

私は長さを測れて有理数とすることも可能だと思います。円周のながさを１と考えればいいからです。そのとき直径の長さが１／２πと無理数になります。

No.7 回答者： kobarero 回答日時： 2005/07/02 16:11

>長さを測れて有理数

ん？....何故？

「長さが測れる」から「有限の長さ」だ。「有限の長さ」だから「有理数」だと思っていませんか？

「有限の長さ」だから「有理数」だとは限りませんよ。「有限の長さ」でも無理数はいっぱいあります。

「長さが測れる」と思うのは、それが無理数の場合は、実は「おおよその長さ」を「真の長さ」だとみなしているに過ぎません。例えば、5.3487654312345.......（循環せず果てしなく続く）という無理数を5.34876程度の概数として捕らえているだけです。

No.6 回答者： Quattro99 回答日時： 2005/07/02 15:55

> 円周の長さは一本の綱と考えれば長さを測れて有理数

これがおかしいのでは？

例えば、1辺の長さが1の正方形の対角線は、有理数しか測ることの出来ないメジャーでは測れません。√2という目盛りのあるメジャーでなら、測ることが出来ます（理論上の話ですが）。

「測ることが出来るから有理数」というところがおかしいのだと思います。

No.5 回答者： satoumasaru 回答日時： 2005/07/02 15:52

根本的に間違っています。

有理数とは整数の比であらわすことのできる数字であって、無理数ではそれができない数字です。ですから測定できるから有理数、できないから無理数というのではありません。質問者様は虚数と無理数を混同されていませんか？　

No.4 回答者： a-yoshi 回答日時： 2005/07/02 15:50

>この説明の非を教えてください

「円周の長さは一本の綱と考えれば長さを測れて有理数」と言われていますが、有限の長さであって、有理数ではない。

　直径も同じく。

　だから、結果が、無理数であることになんのおかしさもありませんよね。
同じく有限の数なわけですから。

No.3 回答者： gutugutu 回答日時： 2005/07/02 15:46

>円周の長さは一本の綱と考えれば・・・・・

たぶんこれが成り立たないのではないでしょうか？
非常に微妙ですが真円にならないと思います。

No.2 回答者： pascal3141 回答日時： 2005/07/02 15:46

長さを測るということの中に、ごまかしが入っています。

めもりのついたメジヤーではかったとき、どんな長さ（無理数であっても）もどこかの位で打ち切るため必ず有理数に成ります。そのため、この議論はおかしいです。