数字のパラドックスを考えました！

(1)まず、ある直線の長さを『1』と決めます、

(2)次に、その直線を3つ繋げると『3』になります、

(3)次に、その3つ繋がった直線を三等分すると、もちろんきっちり三等分することが出来て『1』になります。

(4)次にここで、先程の3つ繋がった直線を『1』と新たに決めます、ところが、その新たな『1』を三等分すると『0.3333‥‥』になってしまい、きっちりと三等分に分けることが出来なくなってしまいました‥‥。

《疑問》(2)の『3』と(4)の『1』は同じ長さの直線であるにも関わらず、何故、(2)の『直線3』はきっちりと三等分出来たのに、(4)の『直線1』はきっちりと三等分出来なくなってしまったのでしょうか？

No.12 ベストアンサー 回答者： AsanoNagi 回答日時： 2012/04/26 18:22

数学的には、長さ１の線分をきっちり三等分することはできます。

ただ、「三等分した長さ」を「有限桁の（10進数）表記では表現できない」というだけのことです。

さて、では、0.333.... という数字は何でしょうか？
思いつきで、「0.3333 とどこまでも３が続く」と考えてそこで考えるのをやめてしまうと正しい答えにはたどり着きません。

ひとつの定義は、

「0.3, 0.33, 0.333, 0.3333 と続く数列の極限値」というものです。

これは、1/3 と等しいことが証明できます。

つまり、0.3333.... と書いてしまえば、そして、上記の定義を採用するなら、これは、1/3 と数値としては同じものになります。

10進数で有限桁で表させる範囲というのは、数学上表現力はかなり限定されるので、10進数有限桁で表現できない数値はいくらでもあります。

No.18 回答者： Knotopolog 回答日時： 2012/05/01 13:39

質問者さんへ．

ANo.14 は，質問者さんを，惑わすような回答内容で，申し訳ありませんでした．

ANo.14 の下記の回答部分のみ撤回します．


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また，質問者さんは，

＞『ある長さの棒』は私にとっても知らない誰かにとっても同じ長さの棒なのです。

と書いておられますが，この意味は，以下の通りと解釈できます．

すなわち，

「私」と「知らない誰か」が，同じ世界の，同じ時空の，同じ単位系の生物（人間）ならば，『ある長さの棒』は，「私」も「知らない誰か」も，同じ単位系で計ることになるため，一方の「私」が『3』と測り，他方の「知らない誰か」が『1』と計ることは有り得ず，もし，そう計ったとすれば，それは，どちらかが間違いであり，どちらも正しいとするのは矛盾です．

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数学の議論に，上記のような，物理学・工学などの単位系を持ち込むのは，適切ではありませんでした．反省します．

alice_44 さんのご指摘が，参考になりました． alice_44 さん，ありがとうございます．

以上です．

No.17 回答者： alice_44 回答日時： 2012/04/30 20:58

そのとおり。

A No.14 は、問題外だと思う。
単位の誤認は、単なる勘違いであって、
バラドクスとは呼び難い。

No.16 回答者： Knotopolog 回答日時： 2012/04/30 12:04

この場は，あくまでも，パラドックスの話であり，「単位換算」は問題外！

No.15 回答者： alice_44 回答日時： 2012/04/29 22:53

「単位換算」という言葉を知らないのか？

No.14 回答者： Knotopolog 回答日時： 2012/04/28 14:13

議論沸騰が静まるのを待っていました．

＃４です．

ANo.4 の「補足」に対するコメント：

質問者さんが，『ある長さの棒』を『3』と決めるのは，自由です．矛盾もありません．

また，質問者さんとは，全く別世界（意志の疎通がない）の「知らない誰か」が「或る長さの棒切れ」を『1』と決めるのも自由で矛盾はありません．

この時点では，『ある長さの棒』と「或る長さの棒切れ」は，互いに無関係なので，何も起こりません．

しかし，ここに，第三者が現れて，

[『ある長さの棒』の長さ]＝[「或る長さの棒切れ」の長さ]

と決め，これによって，十進法の表記を用いて，

[『ある長さの棒』の長さ]＝『3』＝[「或る長さの棒切れ」の長さ]＝『1』

であるから，故に，

『3』＝『1』　⇒　3 ＝ 1

である．と考えた瞬間に，矛盾が生じるのです．



また，質問者さんは，

＞『ある長さの棒』は私にとっても知らない誰かにとっても同じ長さの棒なのです。

と書いておられますが，この意味は，以下の通りと解釈できます．

すなわち，

「私」と「知らない誰か」が，同じ世界の，同じ時空の，同じ単位系の生物（人間）ならば，『ある長さの棒』は，「私」も「知らない誰か」も，同じ単位系で計ることになるため，一方の「私」が『3』と測り，他方の「知らない誰か」が『1』と計ることは有り得ず，もし，そう計ったとすれば，それは，どちらかが間違いであり，どちらも正しいとするのは矛盾です．



この様な質問を出す質問者さんは，数学的センスがあります．数学の正しい知識・習慣・教育を身に付けられる事をお勧めします．当然ですが，好きな分野をお選びになることが最善です．

周知の通り，数学には色々な分野がありますから，その中で，一番好きな分野の勉強を深めて行く，と言うのは如何でしょう？　もし，高校レベルの数学は，ほぼ理解されているのであれば，例えば，分野を大まかに列挙しますと，

「数学基礎論」「代数学」「幾何学」「代数幾何学」「位相幾何学」「微分幾何学」「集合論」「群論」「整数論」「確率論」「解析学」「複素解析学」「関数解析学」「微分方程式」「特殊関数」「離散数学」「組合せ論」「数値解析」「応用解析」「統計数学」「情報科学における数学」「最適化理論」「数学史」などがありますから，この中からお好きな分野の何かを選び，的を絞って勉強なさるのがいいと思います．

差し出がましい事を，失礼いたしました．

No.13 回答者： AsanoNagi 回答日時： 2012/04/26 19:08

ついでにいえば、長さ１のものを三等分した長さが、「きっちりした小数」で書き表せないのは、私たちが普段10進数（一桁増えると10倍になるという仕掛けの数）を使っているからに過ぎません。

３進数というのを考えることができて、これであれば、1÷3 = 0.1 と書くことができます。
６進数というのを使っていれば、1÷3 = 0.2 です。
12進数を使っていれば、1÷3 = 0.4 です。

もちろん、３進数の世界では、２等分が、きっちりした小数で書き表せなせないことになります。
この世界では、1÷2=0.11111..... になります。

No.11 回答者： korokoro1980 回答日時： 2012/04/26 10:32

大学またはそのほかの学校へ行ってください。

行かなくても、理系学部1年相当のテキストを見てみましょう。入学してすぐ、測定、誤差、有効数字などを習います。
ご質問文の(3)で「きっちり三等分する」には、どうしますか？ 「定規で測って分ける」は不可です。測定には誤差が付きまいます。最小目盛りの10分の1まで目分量で測ります。
また、線分の3等分は作図問題であり、複数の解法が知られています。初等幾何で証明されます。その方法を用いれば、(3)でも(4)でも「きっちりと三等分に分ける」ことができます。
お分かりにならなかったらテキスト（教科書）を取り寄せて読むか、「線分の3等分」または「作図問題」などで検索してください。

No.10 回答者： wild_kit 回答日時： 2012/04/25 22:47

１フィートという単位がある。

３フィートで１ヤードである。
従って１ヤードを３等分しようとすると０．３３・・・ヤードとなる。
でもちゃんと１フィートずつ等分されている。

No.9 回答者： alice_44 回答日時： 2012/04/25 21:53

ああ、「数学のバラドクス」ではなく、

「数字のバラドクス」でしたか！
確かに、これは言い得て妙です。
詩的ですね。深い。