
次の和を計算せよ
n
Σ 1/k(k+1)
k=1
解答
1/k(k+1) = - 1/k+1 + 1/k より,
f(k) = - 1/k, ak = f(k+1) - f(k) とおくと,
n...........................n
Σ 1/k(k+1) = Σ ak = f(n+1) - f(1) = - 1/n+1 + 1
k=1.....................k=1
= n/n+1
という問題ですが、
1/k(k+1) = - 1/k+1 + 1/k より,
という部分がわかりません。どうしてこうなるんでしょうか。教えてください。
No.4ベストアンサー
- 回答日時:
質問者の回答例は、むつかしく考えています次のように解くと分かりやすいです
部分分数の型は、1/小x大=1/t(1/小-1/大)
に変形します。1/小-1/大の部分を通分して、1以外の数が出た場合は、その数tで割ると、一致します
問題の場合は、通分しても1ですから、1/tのところは、いりません
n n
Σ 1/k(k+1)=Σ (1/k-1/(k+1))
K=1,2,3・・・・nと順じ代入して書き出します
=(1/1-1/2)+(1/2-1/3)+・・・
+(1/n-1/(n+1))
隣どおし消えてくれますから、先頭の1と最後の
1/(n+1)だけが、残りますから
=1-1/(n+1)=n(n+1)になる

No.3
- 回答日時:
部分分数分解もしくは、部分分数展開と呼ばれます。
単純には、通分の逆をしているだけです。
下記のページなどを参考にしてみて下さい。
参考URL:http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou2/safrc101. …
No.2
- 回答日時:
1/k(k+1) を部分分数に分解すると 1/k - 1/(k+1) ですね.
あ, 「部分分数に分解する」というのは, P(x) / Q1(x) Q2(x) ... という分数式 (Q1(x), Q2(x), ... は互いに素) を P1(x) / Q1(x) + P2(x) / Q2(x) + ... のように分解することです.
No.1
- 回答日時:
一般的な名称があった筈ですが思い出せません。
この問題に限れば
1/k(k+1) = A/k+1 + B/k
と仮定し、右辺を通分して分子を眺めると A, B に関する連立方程式が出る筈です。
それを解いて出ます。
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