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直角三角形の頂点を、直角の頂点から時計回りにO,A,Bと名付けます。
OA=r1, OB=r2とします。
OAが鉛直となす角をθとします。
Aの座標を(x1,y1), Bの座標を(x2,y2)とします。
すると
x1 = r1 sinθ
y1 = -r1 cosθ
x2 = -r2 cosθ
y2 = -r2 sinθ
次の3つの計算が一致します。
[1]Oに対する力のモーメントNが0(右回りを正とします)
N = m1 g x1 + m2 g x2 = m1 g r1 sinθ - m2 g r2 cosθ
ここで、N = 0 の条件は、
m1 r1 sinθ = m2 r2 cosθ
[2]位置エネルギーの和Uが極小 (',"はθでそれぞれ1回、2回微分することを表わします)
U = m1 g y1 + m2 g y2 = - m1 g r1 cosθ - m2 g r2 sinθ
U'=m1 g r1 sinθ - m2 g r2 cosθ
U" = m1 g r1 cosθ + m2 g r2 sinθ
0≦θ≦π/2なら、U">0 だから、U'=0 が極小の条件。
よって
m1 r1 sinθ = m2 r2 cosθ
[3]重心の位置がOの鉛直下。
重心の位置を(x0,y0)とすると、
x0 = (m1 x1 + m2 x2)/(m1 + m2)
y0 = (m1 y1 + m2 y2)/(m1 + m2)
重心の位置がOの鉛直下なら、x0 = 0 である。
m1 x1 + m2 x2 = 0
すなわち、m1 r1 sinθ = m2 r2 cosθ
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