微分方程式

たらいに温水を汲み、その水温（θ）を10分ごとに測定した

t(min) 　0 　10 　20 　　30 　40 　　50
θ(℃）　80　58.0　54.3　40.4　37.7　23.3

水温Ｔ（ｋ）と時間ｔの関係は

dT/dt=-kT

ここから比例定数ｋを推算し、Ｔをｔの関数で表せ。という問題なんです。

No.3 回答者： tatsumi01 回答日時： 2005/07/27 22:52

前の問題

http://personal.okweb.jp/kotaeru.php3?q=1542033
と同じ方でしょ。
問題のθは T の書き間違いとして、微分方程式を解いて
T=Ve^-kt
まで来ているんですから、同じ考えでできませんか。
といっても、前の問題は n = 4 という直感が働いたけど、今度はそうはいきませんね。
lnT = lnV - kt
が正しい。変数を書き換えて
y = B - At
で、A と B を推定する問題です。
両対数方眼紙は使えないそうですから、この式で y (lnT) と t を実際に数値計算し、最小二乗法を適用して下さい。
A と B に関する連立方程式が出て、それを数値計算で解きます。

No.2 回答者： i536 回答日時： 2005/07/27 22:44

与えられて微分方程式を解いた答は(1)です(A,kは定数)。

T=A*e^(-kt)---(1).

(1)の両辺を対数とると、
ln(T)=ln(A) - k*t---(2).

ここで、
y=ln(T), c=ln(A)---(3)
とおくと、
式(2)は、yは変数tの直線の式(4)になります。
y=-k*t + c ---(4)

式(4)に与えられた測定データ６つ分を代入すると
｛c,k｝が未知数の６個の式1.,2.～6.ができます。
ln(0+273)=c - k*0 ---1.
ln(10+273)=c - k*10 ---2.
...
ln(23.3+273)=c - k*50 ---6.

式1.,2.～6.から最小二乗法を用いて、
式(4)で最も近似のいい式を求めると、式(5)を得ます。

Y=0.0032X+5.8521---(5)

式(2)と(5)とから、求めたい答えが出ます。

k=0.0032
A=exp(5.8521)=347.9643

No.1 回答者： ryn 回答日時： 2005/07/27 21:32

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この回答への補足

この問題は何らかの課題やレポートではありません。
自分自身は次のところまでできました。

t=0 T=V
T=Ve^-kt
lnT=lnVe^-kt

この式より
ｋ＝0.0032
Ｖ＝348

したがって
Ｔ＝348e^-0.0032t

となるみたいなんです。
上の過程がよくわからないんです。

補足日時：2005/07/27 22:03