ある本にシュレーディンガーが量子力学的現象を複素数を用いた確率によって示したというようなことが書いてありましたが、複素数によって示される確率というのは実数によって示される確率が日常的に感覚の対象となる巨視的現象と結びついていることと対照的なものに対応しているからなのでしょうか。又このことが量子現象は数学を用いなくては理解できないということにもなるのでしょうか。

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量子力学」に関するQ&A: 量子力学の利用

A 回答 (4件)

量子力学では,粒子性と波動性を併せ持つような性質を考えます.それを表現するのに,振幅と位相を表現できるような数を使う必要があります.(つまり,表現するものが2次元です.)このため複素数を使っているのだと思います.実際の確率は大きさなので複素数の絶対値のようなものになります.(実際は2乗)なので実数です.なぜ位相がいるかというと#1さんの言うように干渉という現象を説明するためです.


>量子現象は数学を用いなくては理解できないということにもなるのでしょうか.
については,例えば,ファラディーは数式を用いずに電磁場を理解していたそうなので,天才であれば量子力学でもできるのかもしれませんが,一般には数学を用いた方が理解しやすいと思います.
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この回答へのお礼

大変ご懇切にご教示頂き感謝いたします。数学と物理学の対応を勉強したいと思いました。

お礼日時:2005/08/10 21:35

複素数を用いるのは単に「手段」です.


数学に基く物理学の大成果です.
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この回答へのお礼

数学が新しくなるとそれに対応して理解される新しい物理学的現象が発見されるのでしょうか。どちらが先かはあまり問題にならないのかとも思いますが、気になります。

お礼日時:2005/08/10 21:42

>複素数によって示される確率というのは実数によって示される確率が日常的に感覚の対象となる巨視的現象と結びついていることと対照的なものに対応しているからなのでしょうか。


ここで言われている意味は次のようなことでしょうか?
   巨視的現象   微視的現象
【確率】 実数  ⇔  複素数
仮にそういうことなら残念ながら間違っています。(量子力学での)確率は観測され得る頻度のようなものですから実数でなければなりません。シュレーディンガーは量子力学的現象を記述するいわゆるシュレーディンガーの波動方程式を発見しました。電子は粒子であると同時に波であるという2面性を持っています(←量子力学を勉強し始めた時,最初に目を白黒してしまう,,,)が,その波の性質を記述したのがSの波動方程式ですね。その波は波動関数(ψ)と呼ばれています。波ですから当然振幅と位相を持っていますが,この波は水面の波のような実在する波かというとことはそう簡単ではない。というのは電子は粒子という面も併せ持っているから,波動関数から粒子的性質も出てこなくてはならない,,,ということで結局,波動関数は複素数で表されることになります(シュレーディンガーも波動関数を最初は実在の波と考え,相当悩んだらしいです)。波動関数をψとしてその複素共役をψ’とするとψψ’は実数になります。ドイツの物理学者MaxBornはこの波動関数の2乗(ψψ’)が電子の存在確率を示すということを明らかにしました。これによって量子力学が実用的問題にどんどん適用されて行くことになったのですね。

>量子力学的現象を複素数を用いた確率によって示した
というのは上で述べたことを簡略化して表現されたものですね。

>量子現象は数学を用いなくては理解できないということにもなるのでしょうか。
理解の程度によりますが(←私も決して深く理解していない)初等的な数学だけで量子現象の面白さを書いた本は多数出回っていると思います(ブルーバックスとか)。面白いと思われるのを選んで一読されるのもいいのではないでしょうか。
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この回答へのお礼

丁寧に解説していただき、ありがたいと思っております。何とか自分なりの理解(錯覚でない)を得たいと思っております。

お礼日時:2005/08/10 21:38

 量子力学に複素数は不可欠ですが確率は確率振幅(複素数)の絶対値の2乗(実数)です。

つまり複素数の物理量が観測されることはありません。
 ちなみに確率振幅が複素数であることから「干渉」という波動的現象が見られます。(この文章は意味不明なら無視してください)
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この回答へのお礼

どうもご教示ありがとうございます。光の干渉などにも複素数が対応しているのでしょうか。

お礼日時:2005/08/09 12:07

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量子力学」に関するQ&A: 古典力学と量子力学

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Q古典力学と量子力学

古典力学と量子力学との違いって何なんですか?
物質によって古典力学と量子力学を使い分けて計算するのですか?

Aベストアンサー

>古典力学と量子力学との違いって何なんですか?

古典力学は、原子とか電子とかいう粒子論が認められる前に
出来上がった学問で、物質内部のミクロな構造のことが考慮されて
いないんです。

 だから大雑把に言うと、電子の運動とかミクロの世界を
計算するときには量子力学を使うのですが、そのミクロの
世界の物理的効果が、目に見えるマクロの世界に出てくる
ことがあって、そういうときは目に見えるでかい(マクロ)の世界
の現象も、量子力学の考え方で計算するんです。

 実際、量子力学の発想は、目に見える光の強度を考えた
ときに出てきたんです。鉄を溶かす溶鉱炉から出て
くる光で、溶けている鉄の温度を予想しようとしたときに
古典力学の考え(光は電磁波という連続した波であるという
マックスウェル方程式の考え方)では計算できない事が分かった
ため、プランクという人が、計算式を検討したところ、光のエネルギー
が不連続、つまり量子化されていることに気づいたんです。
これは現在、「黒体輻射の問題」と言われていますが。

>物質によって古典力学と量子力学を使い分けて計算するのですか?

 扱うエネルギー、或いは問題になるエネルギーの大きさで使い分けられて
いると思います。光子1つ分のエネルギーとか、非常に小さな
エネルギーが問題になるときは、量子力学を使うと
いう考え方でいいと思いますが、先の「黒体輻射の問題」の
ように、現象事態は目に見える大きな世界の話の場合もある
わけです。

>古典力学と量子力学との違いって何なんですか?

古典力学は、原子とか電子とかいう粒子論が認められる前に
出来上がった学問で、物質内部のミクロな構造のことが考慮されて
いないんです。

 だから大雑把に言うと、電子の運動とかミクロの世界を
計算するときには量子力学を使うのですが、そのミクロの
世界の物理的効果が、目に見えるマクロの世界に出てくる
ことがあって、そういうときは目に見えるでかい(マクロ)の世界
の現象も、量子力学の考え方で計算するんです。

 実際、量子力学の...続きを読む

Q量子力学 波動関数の実数と複素数

量子力学習いたてのものです
授業のまとめをしていたのですが、教授の作ったテキストに違和感を感じて投稿しました
一次元井戸型ポテンシャル(範囲が0からa)上の電子から時間に依存しないシュレティンガー方程式を導き、そのあとで、電子のド・ブロイ波の振幅に関するボルンの確率論的解釈(波動関数ψ(x)に対し、ψ(x)²dxをx~x+dxに間に電子が観測される確率とする)を導入したのちに、波動関数の定数部分を求めてみよう、という内容でした。
その時に、テキストでは波動関数ψ(x)を
ψ(x)=Asin(2πx/λ) (Aは定数)
とおいて、∫(0→a)ψ(x)²dx=1
よりAを求め、
ψ(x)=√(2/a)・sin(nπx/a)
を得ていました 
しかし、講義では波動関数には複素数が定義されている、というか一般式が
ψ(x)=Acos(2πx/λ)+iB(2πx/λ) (A,Bは実数、i=√(-1))
と教わりました(この部分は板書が汚かったので私が読み間違っている可能性があります)
テキストではなぜか波動関数を勝手に実数に限定しているようです
そのため自分でこの場合も同様にして波動関数を求めてみました
すると
ψ(x)=i√(2/a)・sin(nπx/a)
と虚数単位を付けただけで、あとは同じような関数が得られました

テキストではなぜ実数を考えていたのでしょうか?
そして、この波動関数の複素数、特にこの場合での複素数の意味はあるのでしょうか?
この二つを教えていただきたいです
まだ偏微分を習っていないため、電子を一次元内に存在すると仮定しています
ただ検索しても偏微分の記号や偏微分に関するものがあったり、問題設定が決定的に違い量子力学習いたての私では理解ができないです

もし、
ψ(x)=Acos(2πx/λ)+iB(2πx/λ) (A,Bは実数、i=√(-1))
が間違っているようでしたら訂正もお願いします
本当に習いたてですので、もしかなり高等な理論が展開されるようなら、後々習いますよ、とさえ言っていただければ大丈夫です

量子力学習いたてのものです
授業のまとめをしていたのですが、教授の作ったテキストに違和感を感じて投稿しました
一次元井戸型ポテンシャル(範囲が0からa)上の電子から時間に依存しないシュレティンガー方程式を導き、そのあとで、電子のド・ブロイ波の振幅に関するボルンの確率論的解釈(波動関数ψ(x)に対し、ψ(x)²dxをx~x+dxに間に電子が観測される確率とする)を導入したのちに、波動関数の定数部分を求めてみよう、という内容でした。
その時に、テキストでは波動関数ψ(x)を
ψ(x)=Asin(2πx/λ) (Aは定数)...続きを読む

Aベストアンサー

例えばある棒や矢印の「向き」を表現したいとき、ベクトルを使って表現するのがわかりやすいと思いますが、
ベクトルvの指し示す向きと、正の実数αを用いてαvというベクトルが指し示す向きは同じになりますよね。当然ベクトルの大きさは異なりますが、向きだけを知りたいのであれば大きさの違いがあるかどうかは関係がないわけです。
とは言うものの、何かの向きを求めたいとき、その向きを表すベクトルが複数あるのは不便なことが多いです。(例えばある方程式から向きを求めたい場合、常に解が複数ある(=不定方程式になっている)事を意味します)
そういうことが困るときには、例えば|v|=1のように長さを特定の値に制限することで、向きとベクトルが1対1に対応するようになってくれるのですね。(例えばある計算からv=(3,4)と求まったとしたら、このベクトルの長さで割ったv=(3/5,4/5)を向きを表すベクトルだと思う事にする、という事を言っています)
量子力学の話を念頭に置いた言葉遣いをすると、|v|=1のように長さを制限することを「規格化」と言います。

これと同様な事は量子力学(波動関数)においてもおこります。
波動関数ψが表している状態と、0でない複素数αを用いてαψという波動関数が表している状態は同じものになります。
そうすると、向きとベクトルの話と同様に、必要に応じてαを適切に選ぶことにすれば、ψに関してある条件(規格化条件)を自由に課すことができる事になります。

テキストから引用されている
>ψ(x)=Asin(2πx/λ) (Aは定数)
Aは定数としか言っておらず、実数に限るとは言っていないようですがいかがでしょうか。

>テキストではなぜ実数を考えていたのでしょうか?
お示しのテキストでもそうだと思いますが、多くの場合、|ψ|=1という規格化条件を選びます。
この条件から|A|の値が決まる事になりますがAの位相因子についてはこの条件からは決まりません。
しかし、α倍しても同じ状態を表す事を踏まえると、αの位相を適切に選ぶという事を前提にすれば「Aが正の実数」であるという条件を課すこともできるのですね。

>そして、この波動関数の複素数、特にこの場合での複素数の意味はあるのでしょうか?
>ψ(x)=i√(2/a)・sin(nπx/a)
の事を言っているのであれば、この波動関数に-iをかけてやれば、テキストにある解と一致し、同じ状態を表していることが確認できます。

例えばある棒や矢印の「向き」を表現したいとき、ベクトルを使って表現するのがわかりやすいと思いますが、
ベクトルvの指し示す向きと、正の実数αを用いてαvというベクトルが指し示す向きは同じになりますよね。当然ベクトルの大きさは異なりますが、向きだけを知りたいのであれば大きさの違いがあるかどうかは関係がないわけです。
とは言うものの、何かの向きを求めたいとき、その向きを表すベクトルが複数あるのは不便なことが多いです。(例えばある方程式から向きを求めたい場合、常に解が複数ある(=不定方...続きを読む

Q量子力学、熱力学の参考書について・・・

 量子力学または、熱力学の参考書でお勧めの物ありますか?大学院の受験の参考書として探しています。特に量子力学の参考書のお勧めを教えて頂ければ本当にありがたいです。それぞれ1冊程持っているのですが、以下に関する記述が少ない(特に量子力学)ので困ってます。
 キーワードの羅列で申し訳ないのですが、
 
 量子力学では、ハミルトン演算子、フェルミ準位、フェルミ分布関数、フェルミ気体、ハミルトニアン、ヘルムホルツ自由エネルギ、ボルツマン定数、1次元調和振動子、1次元井戸方ポテンシャルに関して...

 熱力学では、サイクル系、ファンデルワールス状態式に関して...
問題集でも参考章でもいいのでよろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

フェルミ準位、フェルミ分布関数、フェルミ気体、ハミルトニアン、ヘルムホルツ自由エネルギ、ボルツマン定数、1次元調和振動子、1次元井戸方ポテンシャル

などは、量子力学というより統計力学の領域です。
統計力学の中の、量子統計のジャンルになります。
岩波書店:長岡洋介著『統計力学』がお勧めです。
演習書はサイエンス社の『演習・熱統計力学』など

量子力学の調和振動子や、井戸型ポテンシャルは
境界条件等により統計力学のものより難しくなっています。それをやるならば量子力学の参考書です
岩波書店:原康夫著『量子力学』、
裳華房:江沢洋著『量子力学1』等がお勧めです

熱力学は、サイクル系、ファンデルワールス状態式などは大抵の教科書にはあります。ですから、特に
これがいいといったものはありません。どれでも
いいと思います。熱力学はボリュームが少ないので、
概念が完全に理解できるようになるまで、色々なものを
読み漁るというのもひとつの手です。

Q量子力学の反射率の式の計算方法(複素数、指数、絶対値)を教えてください

B/A=(k^2-α^2)(1-e^2iαa)/{(k+α)^2-(k-α)^2e^2iαa}  のときに、どのように計算すれば

|B/A|^2={1+4(kα)^2/(k^2-α^2)^2(sinαa)^2}^-1  になりますでしょうか。

どうぞよろしくお願いします。

Aベストアンサー

(k+α)^2 - (k-α)^2 e^(2iαa)
= e^(iαa) [(k+α)^2 e^(-iαa) - (k-α)^2 e^(iαa) ]
= e^(iαa) [(k^2 + 2kα+α^2)^2 e^(-iαa) - (k^2 -2kα + α^2) e^(iαa) ]
= e^(iαa) { (k^2 + α^2)^2 [ e^(-iαa) - e^(+iαa)] + 2kα [ e^(-iαa) + e^(iαa) ] }
= e^(iαa) { -2i (k^2 + α^2)^2 sin(iαa) + 4kα cos(αa) }

| (k+α)^2 - (k-α)^2 e^(2iαa) | ^2
= 4 { (k^2 + α^2)^4 sin^2(iαa) + (2kα)^2 cos^2(αa) }
= 4 { (k^2 + α^2)^4 sin^2(iαa) + (2kα)^2 [1 - sin^2(αa)] }
= 4 { [(k^2 + α^2)^4 - (2kα)^2 ] sin^2(αa) + (2kα)^2}
= 4 { (k^2 - α^2)^4 sin^2(αa) + (2kα)^2}

(k^2-α^2)(1-e^(2iαa))
= e^(iαa)(k^2-α^2)[e^(-iαa)-e^(iαa)]
= -2i e^(iαa)(k^2-α^2) sin(αa)

| (k^2-α^2)(1-e^(2iαa)) |^2 = 4 (k^2-α^2)^2 sin^2(αa)

(|B/A|^2)^(-1)
= 4 { (k^2 - α^2)^4sin^2(iαa) + (2kα)^2} / 4 (k^2-α^2)^2 sin^2(αa)
= 1 + (2kα)^2 / (k^2-α^2)^2 sin^2(αa)

(k+α)^2 - (k-α)^2 e^(2iαa)
= e^(iαa) [(k+α)^2 e^(-iαa) - (k-α)^2 e^(iαa) ]
= e^(iαa) [(k^2 + 2kα+α^2)^2 e^(-iαa) - (k^2 -2kα + α^2) e^(iαa) ]
= e^(iαa) { (k^2 + α^2)^2 [ e^(-iαa) - e^(+iαa)] + 2kα [ e^(-iαa) + e^(iαa) ] }
= e^(iαa) { -2i (k^2 + α^2)^2 sin(iαa) + 4kα cos(αa) }

| (k+α)^2 - (k-α)^2 e^(2iαa) | ^2
= 4 { (k^2 + α^2)^4 sin^2(iαa) + (2kα)^2 cos^2(αa) }
= 4 { (k^2 + α^2)^4 sin^2(iαa) + (2kα)^2 [1 - sin^2(αa)] }
= 4 { [(k^2 + α^2)^4 - (2kα)^2 ] sin^2(αa) + (2kα)^2...続きを読む

Q統計力学と量子力学の入門書

こんばんは!
理系大学2年のものです。
応用物理学科で、統計力学、量子力学の授業が始まったのですが、授業が難しすぎて、というか言っていることが難しくてよく分かりません!
ただ、分かれば得るものは大きいと思うので、自分である程度基礎的な部分から、標準的なレヴェルまで勉強したいと思うんですが、
統計力学と量子力学でそれぞれオススメの入門書を教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

量子力学の教科書としては、シッフが標準的ですね。しかし、ちょっと難しいと思います。ディラックや朝永は量子力学の考え方を学ぶ上で良書ですが、高度な内容です。「基礎的な部分から、標準的なレヴェルまで勉強したいと思う」のでしたら、メシアの「量子力学1~3(東京図書)」がお薦めです。じっくりと、量子力学を学びたい人には最適の本だと思います。この本は学生のときに購入し、読んだのですが、いまでも、この本を読み返し、参考にすることもあります。

統計力学は少し古い本になりますが、原島鮮著「熱力学、統計力学(培風館)」が標準的で、読みやすい本だと思います。私が学生の頃は、名著と言われていました。最近の本では、グライナーの「熱力学・統計力学(シュプリンガー東京)」が良いのではないでしょうか?

Q量子力学◆実現確率◆統計力学

量子力学と統計力学の実現確率について質問します。

量子力学的な統計力学における、正準分布(カノニカル分布)の場合の、体系がエネルギーEjの微視的状態をとる確率はPj=e^-βEj/Σie^-βEiで
与えられると思いますが、
エネルギー固有関数φnで展開した場合の量子力学の状態Ψ=Σn<φn|Ψ>φnで、j状態が実現する確率は、
|<φj|Ψ>|^2≡|cj|^2で与えられます。この二つの
実現確率は同じものか違うのかがよく分かりません。

Aベストアンサー

二つの確立は異なるものです。統計確立P(E)=exp(-βE)/Z と量子力学の確立|c(j)|^2はまっとく次元がことなる概念です。最初に習うのは量子統計は(量子力学的)純粋状態のアンサンブル統計の理論です。

つまり量子力学的な状態は純粋状態φ(n)を考えて物理量は量子力学の期待値<A>=<φ(n)|A|φ(n)> を考えます。さてここで量子力学状態φ(n)だけではなく熱揺らぎのためにφ(m)なんかの場合もあると言う状況を考え、そのときのm状態である確立をボルツマン因子
exp(-βE(m))/Zで平均操作を導入したものが

Aの量子統計期待値≡ Σ_m exp(-βE(m))<m|A|m>/Z

です。

量子力学的確立は密度行列を使って導入され

Aの量子期待値(混合状態)
=Σ_m exp(-βE(m))<m|A×ρ|m>/Z

と定義されます。ρ=|Ψ><Ψ| の場合には<m|Ψ>=c(m)とすると

Aの量子期待値(混合状態)
=Σ_{mn} exp(-βE(m))<m|A|n>c(n)c(m)^*
となり、ここで現れるc(n)c(m)^*がfrozenbreakさんの気にしている量子力学的確立です。しかしもっと一般化されていて、m、nという二つの状態の干渉項も入ってきます。 密度行列で調べてみてください。

二つの確立は異なるものです。統計確立P(E)=exp(-βE)/Z と量子力学の確立|c(j)|^2はまっとく次元がことなる概念です。最初に習うのは量子統計は(量子力学的)純粋状態のアンサンブル統計の理論です。

つまり量子力学的な状態は純粋状態φ(n)を考えて物理量は量子力学の期待値<A>=<φ(n)|A|φ(n)> を考えます。さてここで量子力学状態φ(n)だけではなく熱揺らぎのためにφ(m)なんかの場合もあると言う状況を考え、そのときのm状態である確立をボルツマン因子
exp(-βE(m))/Zで平均操作を導入したものが

Aの量子...続きを読む

Q病院勤めの方に質問です 病院ではやはり心霊現象的な 不思議な現象はあるのですか? 不謹慎な質問かもし

病院勤めの方に質問です
病院ではやはり心霊現象的な
不思議な現象はあるのですか?
不謹慎な質問かもしれませんが

Aベストアンサー

特にそのような話が病院以外の建物と比べて多いかというとそのようなことはないかと思いますよ。

Q複素数の積を物理(量子を扱わない)で使いますか?

複素数の積を物理(量子を扱わない)で使いますか?

(実数や虚数の整数倍以外の)複素数の積を量子を扱わない物理学で使いますか?

(a+bi)*(c+di) ここでa,b,c,d:0でない実数
みたいな

Aベストアンサー

こんにちは。

私の経験ですと、
オイラーの公式の応用ですが、
e^(iωt) = cos(ωt) + isin(ωt)
なんかは、光学や交流回路の計算によく利用されます。

t=0のとき位相=0 から始まって、2秒後の位相は、

cos(2ω) + isin(2ω) = e^(2iω)
 = {e^(iω)}^2
 = {cos(ωt) + isin(ωt)}^2
 = {cos(ωt) + isin(ωt)}×{cos(ωt) + isin(ωt)}

同様に、「3.5秒後と7.3秒後の位相の比較」なんかも簡単にできます。

つまり、時間の進行が、べき乗に化けるので、計算が簡単になります。

高校で習う一次変換の概念の応用でもありますが。

Q量子力学の参考書を教えてください。

大学で物理を専攻している者です。量子力学が、今年から始まったんですが、さっぱりわかりません。何かいい参考書は、ありませんか? できれば、演習問題が多く、馬鹿な私でも、挫折せず読み通せるもので特に波動についての説明が詳しいものがベストです。 出版社や著者名も教えていただけると助かります。

Aベストアンサー

もう絶版になっているかもしれませんが、以下のような本がよいと思います。
1. 量子力学(オックスフォード物理、丸善)
2. MIT物理 量子力学入門(培風館)
3. 量子力学(砂川重信、岩波書店)
4. Introduction to Theory and Application of Quantum Mechanics(Yariv)
5. A Modern Approach to Quantum Mechanics (Townsend)
1の本は、早い段階からブラ、ケットの説明があり、わかりやすい。
4の本は、手際よい入門書と思います。半導体への応用の解説があります。
それぞれの本は、問題が収録されていますので、自分で解くと理解が確認できると思います。
物理学専攻であれば、これらは入門レベルですので、なるべく早くレベルの高いもっと厚い洋書にチャレンジされたらと思います。

Q量子力学を理解するためには複素解析の理解が必要?

古典力学と量子力学の関係を理解するためには複素解析の理解が必要なのでしょうか。その前に、高校で習う数学もわからない者にとっては物理学というのは高嶺の花でしかないのでしょうか。

Aベストアンサー

確率量子化で、古典力学と量子力学の関係を初歩的に理解するには、複素解析は必要ないけど、
高校で習う数学は十二分に理解する必要がある。

確率量子化の入門として、

Excelで学ぶ量子力学―量子の世界を覗き見る確率力学入門(保江 邦夫)

を薦める。今はamazonに中古しかない。

エピローグに、「一応高校生諸君なら、ちょっと元気を出してもらえばわかるように数式を説明した。」
とあるが、高校の数学と物理の本質的な理解ができていないと難しいかも。

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