ある本にシュレーディンガーが量子力学的現象を複素数を用いた確率によって示したというようなことが書いてありましたが、複素数によって示される確率というのは実数によって示される確率が日常的に感覚の対象となる巨視的現象と結びついていることと対照的なものに対応しているからなのでしょうか。又このことが量子現象は数学を用いなくては理解できないということにもなるのでしょうか。

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量子力学」に関するQ&A: 量子力学の利用

A 回答 (4件)

量子力学では,粒子性と波動性を併せ持つような性質を考えます.それを表現するのに,振幅と位相を表現できるような数を使う必要があります.(つまり,表現するものが2次元です.)このため複素数を使っているのだと思います.実際の確率は大きさなので複素数の絶対値のようなものになります.(実際は2乗)なので実数です.なぜ位相がいるかというと#1さんの言うように干渉という現象を説明するためです.


>量子現象は数学を用いなくては理解できないということにもなるのでしょうか.
については,例えば,ファラディーは数式を用いずに電磁場を理解していたそうなので,天才であれば量子力学でもできるのかもしれませんが,一般には数学を用いた方が理解しやすいと思います.
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この回答へのお礼

大変ご懇切にご教示頂き感謝いたします。数学と物理学の対応を勉強したいと思いました。

お礼日時:2005/08/10 21:35

複素数を用いるのは単に「手段」です.


数学に基く物理学の大成果です.
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この回答へのお礼

数学が新しくなるとそれに対応して理解される新しい物理学的現象が発見されるのでしょうか。どちらが先かはあまり問題にならないのかとも思いますが、気になります。

お礼日時:2005/08/10 21:42

>複素数によって示される確率というのは実数によって示される確率が日常的に感覚の対象となる巨視的現象と結びついていることと対照的なものに対応しているからなのでしょうか。


ここで言われている意味は次のようなことでしょうか?
   巨視的現象   微視的現象
【確率】 実数  ⇔  複素数
仮にそういうことなら残念ながら間違っています。(量子力学での)確率は観測され得る頻度のようなものですから実数でなければなりません。シュレーディンガーは量子力学的現象を記述するいわゆるシュレーディンガーの波動方程式を発見しました。電子は粒子であると同時に波であるという2面性を持っています(←量子力学を勉強し始めた時,最初に目を白黒してしまう,,,)が,その波の性質を記述したのがSの波動方程式ですね。その波は波動関数(ψ)と呼ばれています。波ですから当然振幅と位相を持っていますが,この波は水面の波のような実在する波かというとことはそう簡単ではない。というのは電子は粒子という面も併せ持っているから,波動関数から粒子的性質も出てこなくてはならない,,,ということで結局,波動関数は複素数で表されることになります(シュレーディンガーも波動関数を最初は実在の波と考え,相当悩んだらしいです)。波動関数をψとしてその複素共役をψ’とするとψψ’は実数になります。ドイツの物理学者MaxBornはこの波動関数の2乗(ψψ’)が電子の存在確率を示すということを明らかにしました。これによって量子力学が実用的問題にどんどん適用されて行くことになったのですね。

>量子力学的現象を複素数を用いた確率によって示した
というのは上で述べたことを簡略化して表現されたものですね。

>量子現象は数学を用いなくては理解できないということにもなるのでしょうか。
理解の程度によりますが(←私も決して深く理解していない)初等的な数学だけで量子現象の面白さを書いた本は多数出回っていると思います(ブルーバックスとか)。面白いと思われるのを選んで一読されるのもいいのではないでしょうか。
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この回答へのお礼

丁寧に解説していただき、ありがたいと思っております。何とか自分なりの理解(錯覚でない)を得たいと思っております。

お礼日時:2005/08/10 21:38

 量子力学に複素数は不可欠ですが確率は確率振幅(複素数)の絶対値の2乗(実数)です。

つまり複素数の物理量が観測されることはありません。
 ちなみに確率振幅が複素数であることから「干渉」という波動的現象が見られます。(この文章は意味不明なら無視してください)
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この回答へのお礼

どうもご教示ありがとうございます。光の干渉などにも複素数が対応しているのでしょうか。

お礼日時:2005/08/09 12:07

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Aベストアンサー

こんにちは。

私の経験ですと、
オイラーの公式の応用ですが、
e^(iωt) = cos(ωt) + isin(ωt)
なんかは、光学や交流回路の計算によく利用されます。

t=0のとき位相=0 から始まって、2秒後の位相は、

cos(2ω) + isin(2ω) = e^(2iω)
 = {e^(iω)}^2
 = {cos(ωt) + isin(ωt)}^2
 = {cos(ωt) + isin(ωt)}×{cos(ωt) + isin(ωt)}

同様に、「3.5秒後と7.3秒後の位相の比較」なんかも簡単にできます。

つまり、時間の進行が、べき乗に化けるので、計算が簡単になります。

高校で習う一次変換の概念の応用でもありますが。

Q量子力学の反射率の式の計算方法(複素数、指数、絶対値)を教えてください

B/A=(k^2-α^2)(1-e^2iαa)/{(k+α)^2-(k-α)^2e^2iαa}  のときに、どのように計算すれば

|B/A|^2={1+4(kα)^2/(k^2-α^2)^2(sinαa)^2}^-1  になりますでしょうか。

どうぞよろしくお願いします。

Aベストアンサー

(k+α)^2 - (k-α)^2 e^(2iαa)
= e^(iαa) [(k+α)^2 e^(-iαa) - (k-α)^2 e^(iαa) ]
= e^(iαa) [(k^2 + 2kα+α^2)^2 e^(-iαa) - (k^2 -2kα + α^2) e^(iαa) ]
= e^(iαa) { (k^2 + α^2)^2 [ e^(-iαa) - e^(+iαa)] + 2kα [ e^(-iαa) + e^(iαa) ] }
= e^(iαa) { -2i (k^2 + α^2)^2 sin(iαa) + 4kα cos(αa) }

| (k+α)^2 - (k-α)^2 e^(2iαa) | ^2
= 4 { (k^2 + α^2)^4 sin^2(iαa) + (2kα)^2 cos^2(αa) }
= 4 { (k^2 + α^2)^4 sin^2(iαa) + (2kα)^2 [1 - sin^2(αa)] }
= 4 { [(k^2 + α^2)^4 - (2kα)^2 ] sin^2(αa) + (2kα)^2}
= 4 { (k^2 - α^2)^4 sin^2(αa) + (2kα)^2}

(k^2-α^2)(1-e^(2iαa))
= e^(iαa)(k^2-α^2)[e^(-iαa)-e^(iαa)]
= -2i e^(iαa)(k^2-α^2) sin(αa)

| (k^2-α^2)(1-e^(2iαa)) |^2 = 4 (k^2-α^2)^2 sin^2(αa)

(|B/A|^2)^(-1)
= 4 { (k^2 - α^2)^4sin^2(iαa) + (2kα)^2} / 4 (k^2-α^2)^2 sin^2(αa)
= 1 + (2kα)^2 / (k^2-α^2)^2 sin^2(αa)

(k+α)^2 - (k-α)^2 e^(2iαa)
= e^(iαa) [(k+α)^2 e^(-iαa) - (k-α)^2 e^(iαa) ]
= e^(iαa) [(k^2 + 2kα+α^2)^2 e^(-iαa) - (k^2 -2kα + α^2) e^(iαa) ]
= e^(iαa) { (k^2 + α^2)^2 [ e^(-iαa) - e^(+iαa)] + 2kα [ e^(-iαa) + e^(iαa) ] }
= e^(iαa) { -2i (k^2 + α^2)^2 sin(iαa) + 4kα cos(αa) }

| (k+α)^2 - (k-α)^2 e^(2iαa) | ^2
= 4 { (k^2 + α^2)^4 sin^2(iαa) + (2kα)^2 cos^2(αa) }
= 4 { (k^2 + α^2)^4 sin^2(iαa) + (2kα)^2 [1 - sin^2(αa)] }
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電気分野は詳しくないのでどなたか回答よろしくお願いします。

Aベストアンサー

Vexp(iωt)と表現するのは便法です。しかしこの便法には本質的な意義があります。

コンデンサCの両端の電圧は電流の積分に比例だとか、インダクタンスLの電圧は電流の微分に比例だとかですよね。この物理法則に従って回路方程式を立ててちゃんと解こうとすると微分積分が入った方程式になるのは避けられません。
しかしexp(iωt)の時間微分はiω×exp(iωt)というふうに自身にiωを乗じるだけ、積分は逆にiωで割るだけという、特別な性質がexpにはあります。
この結果、微分積分の回路方程式は微分や積分が消えた形の単純な方程式に書き直すことができます。このことが、CやLのインピーダンスとして1/iωCやiωLという値を定義し、交流回路計算はこのインピーダンスを使ってオームの法則とかキルヒホフの法則とか代数的手段で解くことができる、ということにつながっているのです。exp(iωt)の表現は交流回路計算の理論的根拠になっているわけです。
(これとは別ですが、いろんな計算をするとき大抵の場合sinやcosよりもexp(iωt)のほうがらくちんです。こういうことも背景かも。)

ところで、「実験等で得られる値は実部だと思うのですが、複素部は一体?」というご疑問はとても重要です。素晴らしい問いかけかと思います。答えは複素部(というか正しくは虚数部)は忘れて良いのですが、それは前述「便法」の理論を立てるときにはある約束事があったからです。つまり、実数部が関心のある量である、虚数部は計算の便宜で仮にあるとするだけ、という前提です。
こうやって複素解の実数部だけ見れば良い、このことは#2様の「射影を見る」ということと同じです。

Vexp(iωt)と表現するのは便法です。しかしこの便法には本質的な意義があります。

コンデンサCの両端の電圧は電流の積分に比例だとか、インダクタンスLの電圧は電流の微分に比例だとかですよね。この物理法則に従って回路方程式を立ててちゃんと解こうとすると微分積分が入った方程式になるのは避けられません。
しかしexp(iωt)の時間微分はiω×exp(iωt)というふうに自身にiωを乗じるだけ、積分は逆にiωで割るだけという、特別な性質がexpにはあります。
この結果、微分積分の回路方程式は微分や積分が消えた...続きを読む

Q共役複素数関数。。。

量子論などで使われている共役複素数関数(φ*)はなんなのか教えてください。
たとえば、∫lφl^2dx=∫φ^*×φdx=1 (φ^*:共役複素数関数)・・・0<x<Lまでの電子の存在確率は1。
これ(φ^*:共役複素数関数)はどのような関数で何故使われているのですか?

Aベストアンサー

複素数値関数φ(x)=p(x)+q(x)i (i:虚数単位)
p(x),q(x)は実関数(実数値をとる)として
普通の共役複素数
φ^*=p(x)-q(x)i
ですね.

何で複素数かって? 量子力学では粒子を記述する波動関数は複素数値で, 観測される物理量は,例えば存在確率ならば, lφl^2=p^2+q^2を考えている領域で積分したものに比例する実数ということになっているので...
そうでない満足できる理論がほかに作れるなら別ですが.

Q絶対値のインピーダンスを複素数に

お世話になります。
解析において、絶対値で得られたコイルのインピーダンスを、複素数に直したいと考えています。
解析は、導体板に近接させたコイルに交流をかけ、そのコイルのインピーダンスを見るというものです。
コイルに印加する交流電流は、1Aを時系列で-1~1倍まで変化させて交流としています。(1周期を16分割しています)
得られるインピーダンス(絶対値)は、交流電流の関数での時間ごとに得られます。(1周期分を解析するので16個のインピーダンス)位相などを得ることはできません。
このような場合、得られた16個のインピーダンスと交流電流の時間関数を使って、複素数としてインピーダンスを計算し直すということは可能でしょうか?
何卒、宜しくお願いいたします。

Aベストアンサー

インピーダンスの定義が通常良く使われるのと異なるものを使っていませんか?
正弦波電流に対して、電圧瞬時値/電流瞬時値の値が時間ごとに得られているなら、そこからRL直列回路としてのインピーダンスは計算可能でしょう。
(i=Isin(wt)とすると、v=ri+Ldi/dt=rIsin(wt)+LwIcos(wt)より、
v/i=r+Lwcot(wt) なので、これにフィッティングすれば、r,wLが計算できる。)


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