量子力学と複素数の関係

Question

ある本にシュレーディンガーが量子力学的現象を複素数を用いた確率によって示したというようなことが書いてありましたが、複素数によって示される確率というのは実数によって示される確率が日常的に感覚の対象となる巨視的現象と結びついていることと対照的なものに対応しているからなのでしょうか。又このことが量子現象は数学を用いなくては理解できないということにもなるのでしょうか。

masudaya · Accepted Answer

量子力学では,粒子性と波動性を併せ持つような性質を考えます.それを表現するのに,振幅と位相を表現できるような数を使う必要があります.（つまり,表現するものが２次元です.）このため複素数を使っているのだと思います.実際の確率は大きさなので複素数の絶対値のようなものになります.（実際は２乗）なので実数です.なぜ位相がいるかというと#１さんの言うように干渉という現象を説明するためです.
>量子現象は数学を用いなくては理解できないということにもなるのでしょうか.
については,例えば,ファラディーは数式を用いずに電磁場を理解していたそうなので,天才であれば量子力学でもできるのかもしれませんが,一般には数学を用いた方が理解しやすいと思います.

nabla · Answer

量子力学に複素数は不可欠ですが確率は確率振幅（複素数）の絶対値の２乗（実数）です。つまり複素数の物理量が観測されることはありません。
　ちなみに確率振幅が複素数であることから「干渉」という波動的現象が見られます。（この文章は意味不明なら無視してください）

KENZOU · Answer

＞複素数によって示される確率というのは実数によって示される確率が日常的に感覚の対象となる巨視的現象と結びついていることと対照的なものに対応しているからなのでしょうか。
ここで言われている意味は次のようなことでしょうか？
　　　巨視的現象　　　微視的現象
【確率】　実数　　⇔　　複素数
仮にそういうことなら残念ながら間違っています。（量子力学での）確率は観測され得る頻度のようなものですから実数でなければなりません。シュレーディンガーは量子力学的現象を記述するいわゆるシュレーディンガーの波動方程式を発見しました。電子は粒子であると同時に波であるという2面性を持っています（←量子力学を勉強し始めた時，最初に目を白黒してしまう，，，）が，その波の性質を記述したのがＳの波動方程式ですね。その波は波動関数（ψ）と呼ばれています。波ですから当然振幅と位相を持っていますが，この波は水面の波のような実在する波かというとことはそう簡単ではない。というのは電子は粒子という面も併せ持っているから，波動関数から粒子的性質も出てこなくてはならない，，，ということで結局，波動関数は複素数で表されることになります（シュレーディンガーも波動関数を最初は実在の波と考え，相当悩んだらしいです）。波動関数をψとしてその複素共役をψ’とするとψψ’は実数になります。ドイツの物理学者MaxBornはこの波動関数の2乗（ψψ’）が電子の存在確率を示すということを明らかにしました。これによって量子力学が実用的問題にどんどん適用されて行くことになったのですね。

＞量子力学的現象を複素数を用いた確率によって示した
というのは上で述べたことを簡略化して表現されたものですね。

＞量子現象は数学を用いなくては理解できないということにもなるのでしょうか。
理解の程度によりますが（←私も決して深く理解していない）初等的な数学だけで量子現象の面白さを書いた本は多数出回っていると思います（ブルーバックスとか）。面白いと思われるのを選んで一読されるのもいいのではないでしょうか。

First_Noel · Answer

複素数を用いるのは単に「手段」です．
数学に基く物理学の大成果です．

量子力学と複素数の関係

量子力学に複素数は不可欠ですが確率は確率振幅（複素数）の絶対値の２乗（実数）です。

＞複素数によって示される確率というのは実数によって示される確率が日常的に感覚の対象となる巨視的現象と結びついていることと対照的なものに対応しているからなのでしょうか。

複素数を用いるのは単に「手段」です．

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