台形の体積の求め方を教えて下さい。
底面積(a1×a2)、上面積(b1×b2)、高さh、勾配1:1とする場合の体積の求め方。
勾配が変わった場合はどうなるのか。
また、オペリスク公式とは何か教えてください

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A 回答 (6件)

S=h/3*{a1a2+b1b2+sqrt(a1a2+b1b2)}っていうのなら、


四角錐のうち、底面に平行な平面で小さな四角錐を切り取ってできる図形(塾の授業では「四角錐台」と呼んでいました)では、相似を使って簡単に示せます。
(以下、切り取った四角錐を(小)、(小)を乗せてもとの四角錐を復活させたものを(大)と呼びます)

(大)と(小)は、頂点を相似の中心とする相似の位置にあり、相似比はa:b(体積比はa^3:b^3)
よって、(小)の高さは、h*{a/(b-a)}であり、求める四角錐台の体積は(小)×{(b^3-a^3)/a^3}となることから、ちょいと計算すればできるはずです。

ところで、私はよく知りませんが、ここでいう「勾配」ってなんでしょうか?そもそも考えられている立体の4本の脚を伸ばすと1点で交わるのでしょうか?(つまり四角錐を切断した形なのか否か?)
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>そもそも考えられている立体の4本の脚を伸ばすと1点で交わるのでしょうか?


>(つまり四角錐を切断した形なのか否か?)

いわゆる「屋根型」の上を切った形もあり、ということでしょうね・・。
こういう場合は、切断して計算すればいいのでしょうが。
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導きたいなら、水平断面を高さで積分でしょうか。


 h
∫(((b1-a1)/h)*z+a1)(((b2-a2)/h)*z+a2)dz
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それは 方光体 といいます



 参考URLに 公式が 載っています

  http://www.forming.co.jp/database/taiseki/volume …

参考URL:http://www.forming.co.jp/database/taiseki/volume …
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この回答へのお礼

方光体とは初めて聞きました。
また、それらの公式が数学関係のHPではなく、精密機械加工業者で公開されているとは、目から鱗とはこのことですね。
どうも有難うございました。

お礼日時:2001/11/06 15:52

>四角錐の上の部分がない立方体


なんて書いたらもう一回突っ込まれますよ。(わら
四角錐の上の部分がない立体でいいなら、四角錐からない部分を引いたらどうですか?

この回答への補足

ホントに笑われると思いますが、
S=h*1/3*{a1a2+b1b2+√(a1a2+b1b2)}又は
S=h*1/6*{(2a2+b2)a1+(2b2+a2)b1}で体積(オペリスク公式?)を求めているのを見たのですが、それの導き方が判らないので知っている方(公式についても)は教えてください。

補足日時:2001/11/06 13:54
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 台形って 平面で 立体じゃ ないでしょ?

この回答への補足

説明が悪くて済みません。
正確な名称は判りませんが、四角錐の上の部分がない立方体、つまり四角柱で底面から上面へ傾斜している(底面積、上面積が違う)立体の体積の求め方です。

補足日時:2001/11/06 12:31
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Aベストアンサー

S=h/3*{a1a2+b1b2+sqrt(a1a2+b1b2)}っていうのなら、
四角錐のうち、底面に平行な平面で小さな四角錐を切り取ってできる図形(塾の授業では「四角錐台」と呼んでいました)では、相似を使って簡単に示せます。
(以下、切り取った四角錐を(小)、(小)を乗せてもとの四角錐を復活させたものを(大)と呼びます)

(大)と(小)は、頂点を相似の中心とする相似の位置にあり、相似比はa:b(体積比はa^3:b^3)
よって、(小)の高さは、h*{a/(b-a)}であり、求める四角錐台の体積は(小)×{(b^3-a^3)/a^3}となることから、ちょいと計算すればできるはずです。

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順番通りに機械的に計算するのがコツです。

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よろしくおねがいします。

Aベストアンサー

#3です。
図面をダムの下流側から見た図と捉えていました。平面図の上下が逆に描いてあったなら間違えなかったと思います。
補足からすると平面図はダム湖側が下側(ダム下流側が上側)に描かれていると分かりました。製図の第三角法の三面図で描いてあったなら間違わなかったと思います。#4さんの図と符合して、ダム湖側から見た図と分かりました。
それで#1さんの式に納得がいきました。
A#3は質問者の意図する図と異なる回答なので撤回しますので無視して下さい。

なお、#1さんの式の
ダムコンクリートの水平断面の長方形は(#4さんの図面参照)
ダム湖-下流の方向の厚さ方向が(2-x/3)m
ダムの左右の幅方向が(3+2x/3)m
になりますね。
x=0m(ダムの底)で 2m×3mの長方形
x=3m(ダムの一番上の面)で 1m×5mの長方形になり、
その途中のxmで線形補間した式が
(2-x/3)mと(3+2x/3)mですので
ダムコンクリートの水平断面の長方形の面積

(2-x/3)m×(3+2x/3)m=(2-x/3)(3+2x/3)m^2
と#1さんの式になるということですね。
つまりダムコンクリートの体積Vは
V=∫[0,3](2-x/3)(3+2x/3)dx
で計算でき
V=∫[0,3]{-(2/9)*(x^2)+(1/3)x+6}dx
=35/2=17.5 m^3(立方メートル
となりますね。

#3です。
図面をダムの下流側から見た図と捉えていました。平面図の上下が逆に描いてあったなら間違えなかったと思います。
補足からすると平面図はダム湖側が下側(ダム下流側が上側)に描かれていると分かりました。製図の第三角法の三面図で描いてあったなら間違わなかったと思います。#4さんの図と符合して、ダム湖側から見た図と分かりました。
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http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E9%8C%90%E5%8F%B0

この式にそれぞれの値を代入してください

参考URL:http://www.rd.mmtr.or.jp/~bunryu/ensuidai1.htm

Qa^(a+b)=b^24,b^(a+b)=a^6を同時に満たす1と異なるの正数a,bを求めよ

こんにちは。

[問]
a^(a+b)=b^24,b^(a+b)=a^6を同時に満たす1と異なるの正数a,bを求めよ。
[解]
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a+b=6log[b]a=6/log[a]b
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(log[a]b)^2=1/4
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からどうしてもa,bが定まりませんどうすれば定まりますでしょうか?

Aベストアンサー

>a,b(>0)の大小関係のいかんによってはlog[a]b<0も有り得るのでは??

ええ、もちろん log[a]b を単独でみるときはそうです。でも、この式
   a+b=24log[a]b をみると、a も b も正の数ですから、左辺は
正の数ですよね。ということは、右辺の log[a]b は正の数でなければな
りませんよね?そういう意味で log[a]b>0 といったのです。
したがって、もし b=a^(-1/2)を log[a]b に入れると log[a]a^(-1/2)=-1/2
となり、a+b=-12 で「a,bは正の数」と言うことに矛盾してしまいます。

納得できたでしょうか。説明が足りなくてすみませんでした。

Q直方体を切ってできた立体の体積は?

直方体を平面ABCDで切ってできた立体の体積をどうやって求めたらよいかわかりません。
変形台形です。

Aベストアンサー

とりあえず、答えが分かったと思うので回答します。
あまり、いい解き方ではないかもしれませんが参考程度に見てください。
まず、説明がしやすいように底面の頂点に文字をあてます。
頂点Aの下の頂点をEとして反時計回りにE,F,G,Hとします。
次にCP=2cmになるようにCG上に点Pを、DQ=2cmになるようにDH上に点Qをとります。
そうするとAEFB≡QHGPでAEFB-QHGPは四角柱になります。
また、AQD≡BPCで、かつAQDとBPCは平行なのでAQD-BPCは斜三角柱になります。
ついでに、∠AQDはAEHQが長方形なので90°になり、AQDの面積は簡単に求められます。
だから、
1/2 (AE+BF)×EF×FG+1/2 AQ×QD×GH=1/2 (5+3)×3×6+1/2×6×2×3
=72+18=90
よって、90cm^3になる
これであってるでしょうか?

Aベストアンサー

絶対値があるので、x<a1 と a1≦x<a2 と a2≦x の3通りの場合分け
が必要です。0<b1<b2ですから、与式の両辺に b1b2 をかけておいて
 b2|(x-a1)|>b1|(x-a2)| と変形してからやるといいです。
考えとしては絶対値の外し方[x<0のときlxl=-x,0≦xのときlxl=x]を使い
ます。
1.x<a1 のとき・・・x-a1もx-a2も負になるからマイナスをつけてはずす
   -b2(x-a1)>-b1(x-a2) →両辺に-1をかけてb2(x-a1)<b1(x-a2)
   これを解いて、 x<(a1b2-a2b1)/(b2-b1) ・・・(1)
   ここで a1 と (a1b2-a2b1)/(b2-b1) の大小関係を調べると
   両方に(b2-b1)をかけた式で a1(b2-b1)-(a1b2-a2b1)=-a1b1+a2b1
   =b1(-a1+a2)>0 となるので a1>(a1b2-a2b1)/(b2-b1) となります
   したがって、ここでの解は(1)の解でよいことになります。
2.a1≦x<a2 のとき・・・x-a1は正、x-a2は負だから
   b2(x-a1)>-b1(x-a2)
   これを解いて、x>(a1b2+a2b1)/(b1+b2)
   ここで、1.のときと同様にして (a1b2+a2b1)/(b1+b2) とa1,a2
   との大小関係を考えると、省略しますが、
     a1<(a1b2+a2b1)/(b1+b2)<a2 となり、
   ここでの解は (a1b2+a2b1)/(b1+b2)<x<a2・・・(2)
3.a2≦x のとき・・・x-a1もx-a2も正だから
   b2(x-a1)>b1(x-a2)
   これを解いて x>(a1b2-a2b1)/(b2-b1)
   同様に a2 と (a1b2-a2b1)/(b2-b1) の大小関係を調べると、また
   省略しますが a2>(a1b2-a2b1)/(b2-b1) となり
   ここでの解は a2≦x・・・(3)

以上、(1)~(3)が解となります。
各場合について、数直線をかいて考えるといいでしょう。

絶対値があるので、x<a1 と a1≦x<a2 と a2≦x の3通りの場合分け
が必要です。0<b1<b2ですから、与式の両辺に b1b2 をかけておいて
 b2|(x-a1)|>b1|(x-a2)| と変形してからやるといいです。
考えとしては絶対値の外し方[x<0のときlxl=-x,0≦xのときlxl=x]を使い
ます。
1.x<a1 のとき・・・x-a1もx-a2も負になるからマイナスをつけてはずす
   -b2(x-a1)>-b1(x-a2) →両辺に-1をかけてb2(x-a1)<b1(x-a2)
   これを解いて、 x<(a1b2-a2b1)/(b2-b1) ・・・(1)
   ここで a1 と (...
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Q体積の求め方の解法で間違えを教えてください。

図のようにAB平行DC、∠BCD=90度、AB=3cm、BC=5cm、DC=6cmである台形ABCDである。この台形を辺DCを軸として1回転させてできる立体の体積を求めなさい。ただし、円周率はπとする。


私は、次のように解きましたが、解答が間違えていました。
ちなみに100πでした。
どこがおかしいかご指摘お願いします。

5×5×π×6=150π
3×5×π×3=45π
150π-45π=105π

Aベストアンサー

計算ミスはありませんが、組み立てた式に問題があったようです
なぜそういった式になったかはわかりかねますが、代わりに私の解き方を説明させてもらいます

角Aから辺DCに垂直に交わるように線をひいて、交わる部分をEとします
三角形AEDからできる三角錐と四角形ABCEからできる円柱を足したものが答えなので計算します

三角形AEDからできる三角錐の体積
5×5×π×3×1/3=25π

四角形ABCEからできる円柱
5×5×π×3=75π

二つの合計は100πとなります

疑問点がまだあればここで確認してもらえたらと思います

Q4a+b=1 3a-c=1 3b+4c=-1 の3つの式を使ってa.b.cを求めることはできますか?

4a+b=1
3a-c=1
3b+4c=-1 の3つの式を使ってa.b.cを求めることはできますか?

Aベストアンサー

a.b.c の関係を求める事は出来ますが、
夫々の値を特定する事は出来ません。

理由は、上二つの式から三つ目の式が出来るので、
実質二つの式しかない事になりますから。

3つに式を上から、①②③とすると、
①を3倍して 12a+3b=3 → 12a=3-3b
②を4倍して 12a-4c=4 →  12a=4+4c
従って、3-3b=4+4c → 3-4=4c+3b
で、③の式と同じになります。


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