Σの級数展開と∫で

こんばんは．すこし困っています．
どうか宜しくお願いします．

Σ(j=1→∞)1/(a^j)を級数展開すると，

1/a[1+(1/a)+(1/(a~2))+・・・・]=1/a[1/{1-(1/a)}]
=1/(a-1)


と当然なりますが，

積分で同じ結果，

∫(t=0→∞)[1/(a^t)]dt
=1/(a-1)にならなくて困っています．

どうか教えてください．

No.1 回答者： ion12wat 回答日時： 2005/09/13 21:24

級数展開している方は，刻み幅1がありますが，

積分の方は刻み幅0で考えているので，
答えは違うと思います。

積分の定義を確認してみて下さい。
高校の教科書では，f(x)を短冊に区切って，
面積を級数で表し，
刻み幅Tをlim_(T→0)としている筈です。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます．
そうですね．確かに計算すると違うのです．

なんとか，

総和の結果と対応するような
積分の式はないでしょうか？

お礼日時：2005/09/13 21:54

No.2 回答者： oyaoya65 回答日時： 2005/09/13 22:01

a＞1で収束するわけですね。

積分値は 1/ln(a) になります。ここでln(.)は自然対数

積分は非常に幅の狭いdtとそのときの関数値の積を積分区間で足し合わせたものです。
つまり、級数表示では以下のように表されます。
I2＝lim(b→∞)[lim(n→∞)(b/n)Σ(j=1→n){1/(a^(jb/n)}]
lim(b→∞)[lim(n→∞)(b/n)a^(-b/n){1- 1/a^b}/{1- 1/a^(b/n)}
これが　1/ln(a)　になるわけです。

一方、質問の級数和は、幅１、高さ1/a^n　の級数和です。
I1=Σ(j=1→∞)1/(a^j)＝1/(a-1)

なお、
a→1+　のとき　
ln(a)＝(a-1)-(1/2)(a-2)^2 +(1/3)(a-1)^3 - ...
と展開できますので
ln(a)≒ a-1
つまり
I2→1/(a-1) となります。
I1とI2は一致します。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました．

非常に勉強になりました．
すいません．極限の式への変換は，あとでゆっくり勉強させていただきます．
log(a)＝～　a-1　は考えもしませんでした．

すいません．
質問の元の積分式の計算でlog(a)となるにはどのように計算すればなるでしょうか？

お礼日時：2005/09/13 22:09

No.3 ベストアンサー 回答者： oyaoya65 回答日時： 2005/09/13 23:04

#2です。

A#2の補充質問について

I2 = ∫(t=0→∞)[1/(a^t)]dt　とおくと
1/(a^t) = a^(-t) = e ^{-t ln(a)}ですから
F(t) = ∫[1/(a^t)]dt = e ^{-t ln(a)} /{-ln(a)} + C
I2 = F(∞) - F(0)
級数の収束条件から　a＞1ですから、ln(a)＞0で
F(∞) = 0
I2 = -F(2) = 1/ln(a)
となります。

この回答へのお礼

再度ありがとうございます．

このように展開するというのは，すばらしいの一言でした．

お礼日時：2005/09/14 14:05