マンガでよめる痔のこと・薬のこと

 初めての質問となりますが、御回答を宜しくお願いいたします。

 タイトルに書かせて頂いた通り、円形電流の任意の観測点Pに作られる静磁場において、観測点Pに電流素片Idsがつくる磁場の大きさをどうやって算出したらいいのかがわからず困っています。

 円形電流の中心軸上に作られる静磁場において、電流素片IdsのP点につくる磁場の大きさについては、円形電流半径a、電流I、観測点Pとdsの距離R、としたときの静磁場は、
      ds=μ*I*ds/(4*π*R^2)
というように求めることができます。
 ここで、観測点Pが中心軸上ではなく、XYZ座標上で、(x,y,z)の座標にあり、円形電流が、X^2+Y^2=a^2 の位置にあるときdBは、どのように算出できるのでしょうか。
 長文で申し訳ありませんが、宜しくお願いいたします。

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A 回答 (9件)

#8の続きです。



「mathematicaは、使える環境にあります」→それは何よりです。式をmathematicaへコピーペースとして、セル→形式変換→Standard Form とやるとぐんと意味の見やすい式になります。

「まだ、使用した経験はないのですが。」→自分だけで学ぶのは長時間かかって大変なので、知り合いにユーザが居れば助けてもらうのをお勧めします。

「やはり、楕円積分・・・」→組み込み関数を利用できる限りにおいて、logとかsinとかの関数となんら変わりなく、負担に感じる必要はありません。

「(例えば、bx[x_,y]のx_,y部分)は、引数なのでしょうか?」→そうです。

「Iが式中に入るとしたら・・・bx、bpの両式共に、mu*Iという形で、入れればいいのでしょうか?」→そうです。

「透磁率は、4π*10^-7 [N/A^-2]でよろしいのでしょうか?」→そうです(媒体中ならそれに比透磁率をかければよろしいです)。

この回答への補足

この場をお借りしてですが、今回の質問に対し、丁寧かつ明瞭な回答をしてくださった皆様に感謝したいと思います。

無事に、質問内容の解決まで漕ぎ着けることができました。
皆様の助けが無ければ、まず解決できなかったと思います。
本当にありがとうございました。

補足日時:2005/10/03 15:05
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この回答へのお礼

お答えありがとうございます。

imoriimoriさんに教えていただいた文献も手に入りました。
和訳するのにちょっと時間かかりそうですが、なんとかなりそうです^^

進めていく上で、どうしてもわからない事があったら質問したいと思いますので、このままもう少し置いときたいと思います。
もし、迷惑であれば締め切りにしようと思っています。

本当にありがとうございました。

お礼日時:2005/09/27 14:51

#7の続きです。




大変お困りのようですので、Smytheの式(最終解のclosed form)を私流に焼き直して計算プログラムに書き込んである式をご参考にペーストします。
mathematicaのプログラムをテキストフォームに直したものです。一部mathematicaの記法に慣れておられないとつかみにくい部分がありますが(:とか_はプログラム上の記号)、数式としての意味は通じるかと思います。テキストフォームではどうにも見にくいですが。

ρ[y_] := Sqrt[y^2 + z^2]

ksquare[x_, y_] := 4*a*(ρ[y]/((a + ρ[y])^2 + x^2))

bρ[x_, y_] :=
((mu*x)/(2*Pi*ρ[y]*Sqrt[(a + ρ[y])^2 + x^2]))*
(-EllipticK[ksquare[x, y]] +
((a^2 + ρ[y]^2 + x^2)/((a - ρ[y])^2 + x^2))*
EllipticE[ksquare[x, y]])

bx[x_, y_] := (mu/(2*Pi*Sqrt[(a + ρ[y])^2 + x^2]))*
(EllipticK[ksquare[x, y]] +
((a^2 - ρ[y]^2 - x^2)/((a - ρ[y])^2 + x^2))*
EllipticE[ksquare[x, y]])

この場合、円形コイルはx=0のyz面にあり(xy面ではありません、コイルの軸はx方向です)、コイル中心はx=y=z=0です。
aはコイル半径。
ρは評価場所(x,y,z)のx軸からの距離。

bρは評価場所(x,y,z)において、ρ方向つまりx軸と直交する方向の磁場成分[T]。
bxは評価場所(x,y,z)において、x軸方向の磁場成分[T]。
muは透磁率。
電流Iが入っていないのは、単位電流1[A]に固定しているから。

ElliptickKは第1種完全楕円積分。EllipticEは完全楕円積分。

ここでwarningとなるのですが、第1種完全楕円積分と完全楕円積分をささっと計算してくれる道具が無いと面倒になります。mathematicaはこれらを組み込み関数として持っています。
大学でしたらmathematicaとかMATLABとか数式処理ソフトを使える環境かもしれません。慣れるまで大変ですが。
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この回答へのお礼

丁寧なお答えありがとうございます。
また、返信が遅くなってしまい申し訳ありませんでした。

mathematicaは、使える環境にあります!!
まだ、使用した経験はないのですが。
やはり、楕円積分・・・。
この計算は、どうしても避けることができないようですね^^;

imoriimoriさんの書かれた上式のなかで、[]中(例えば、bx[x_,y]のx_,y部分)は、引数なのでしょうか?
また、電流Iが1A固定ということで、省略されているようですが、もし、Iが式中に入るとしたら・・・bx、bpの両式共に、mu*Iという形で、入れればいいのでしょうか?
透磁率は、4π*10^-7 [N/A^-2]でよろしいのでしょうか?

続けて多くの質問をしてしまい申し訳ありませんが、宜しくお願いいたします。

お礼日時:2005/09/26 16:01

#5の続きです。



(1)参考となるWebページ、適切なもの見あたりません。

(2)紹介したSmythe文献、#4にてr>>aの近似が入っていると書きましたがどうやら私の誤認です。近似すると式が簡単になるという脇道として書いているだけのようです。この近似無しにそのまま計算を進めて見ると最終のclosed formのような式に至ります。「ような」というのは、全く同じ式かどうか約分その他の整理が面倒で未確認ということで、たぶん同じ。ということで、Smythe資料は「活き」だと思います。(他のかたからも適切な資料が紹介されているようですが)

(3)電磁界シミュレータが使える環境なら、そのほうが速いのではないかとも思いますが。

この回答への補足

この場をお借りしてではありますが、まだ、個人的に「質問」に書かせていただいた内容の完全な解決に至らないため、もう少し締め切りを待ちたいと思っております。(様々な方から、ご教授いただいた文献も入手できていません><)
どんな情報でもかまいませんので、書き込みを宜しくお願いいたします^^

補足日時:2005/09/22 16:59
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この回答へのお礼

早速のお答え感謝しております^^

なるほど!
確かに、r>>aの条件から解かれた解を利用すると、コイル面のZ軸上、または、それ付近では、a^2が無視されたものになり、正確な磁場を算出できないんです。

imoriimoriさんの使用されたSmythe文献の最終解では、ほとんど算出されたBは間違いないという点から、おそらく、a>r、r≧a という条件下でも算出が可能だと思います。

本当にすばらしい文献を紹介してくださいまして、ありがとうございました。

お礼日時:2005/09/22 16:59

ランダウリ=フシッツ理論物理学教程


「電磁気学1」
第4章、第29節 p.157 問題2の解に「円形電流の任意の観測点Pに作られる静磁場」が円筒座標で書かれています。

所蔵図書館
http://webcat.nii.ac.jp/cgi-bin/shsproc?id=BN018 …
http://webcat.nii.ac.jp/cgi-bin/shsproc?id=BN018 …
http://webcat.nii.ac.jp/cgi-bin/shsproc?id=BN095 …

アマゾンの在庫
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4489011 …
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この回答へのお礼

御回答ありがとうございました。
アマゾンには、在庫がないようですね^^;
とりあえず、大学の図書館で探してみようと思います。

お礼日時:2005/09/22 14:18

#4の続きです。


「実際に最終解を用いて計算されていたようですが、その時の測定点と円形電流などの磁場を発生させている物質との距離、また、半径aは、どの程度に設定されていましたか?」
につきまして。

コイル半径aが0.1m~0.5m。
コイル面から磁場評価領域までクリアランス1cm程度。そこからa程度の距離まで。

私の場合、関心があるのは精密な磁場分布ではなく、その磁場が近傍物体内で誘導発熱を起こす総量とか誘導電流分布とか発熱分布です。

私の個人的ツールとしては満足していましたが、それは次のような理由からです。
・発熱分布は本格的なシミュレーションによる論文例と比べて大局的に合う結果を与える。
・中心軸上は(r<<aであっても)近似無しのビオサバール計算と全く同じBの値を与える。
・コイルの線のごく近傍は、r≒aだけれども、アンペール則と全く同じBの値を与える(つまりビオサバール則とも全く同じ値を与えるはず)。
・その他の場所の磁場分布も、正確さは別として、ごく自然に見えるBの分布。

まあしかし、仮にちょっとくらい磁場分布がいんちきでも発熱等の分布がマクロに捉えられれば良いという目的で使っていましたので、どこまでB分布が正確かというとなんともわかりません。
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この回答へのお礼

imoriimoriさん、御回答ありがとうございました。

なるほど。
磁場分布ではなく、発熱分布に焦点を当てていらっしゃったのですね^^
さらに、私の考えているコイル半径よりもかなり大きいコイルを計算に用いているということで、かなりの希望がでてきました。
その文献を早急に取り寄せできればいいんですが^^;
参考となるwebページなんかがありましたら、ご教授願いたい次第です。
何度も申し訳ありませんが、宜しくお願いします。

お礼日時:2005/09/22 14:16

#2の続きです。

もうちょっと追記します。

dsの作るdBよりも、最終解(任意位置におけるBのclosed formula)を求めておられると思ったのでSmytheの文献を紹介しました。最終解はpage 291ですが、読まれるならばその前後も見たほうが良いでしょうから、その場合page280-page301です。

ただし-------------------これもビオサバールではなくてベクトルポテンシャルでやっていて、r>>aの近似が入っています。ですから、ご要望に添うものではないということになります。m(_ _)m

(この最終解を使ってr>>aではない場所の磁場分布を計算させても、私個人の必要範囲では特に実態と違う変な磁場分布でもないので、気にせず使っていました。)

この回答への補足

補足になりますが、私は、円形電流の半径を少しずつ大きく、また、Z軸方向にずらすことで一つの円筒型コイル全体がコイル表面付近につくる磁場を計算しようと考えています。
この場合は、円形電流ではなく、ソレノイドで磁場を算出するといった考え方のほうが有効なのでしょうか。

補足日時:2005/09/21 18:12
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この回答へのお礼

ありがとうございました。

そうですか・・・。
期待していただけに、残念です;;

imoriimoriさんは、実際に最終解を用いて計算されていたようですが、その時の測定点と円形電流などの磁場を発生させている物質との距離、また、半径aは、どの程度に設定されていましたか?
差し支えなければ教えていただけないでしょうか。

私は、円形電流中心からXYZ軸方向に各10mm程度の範囲の磁場分布を計算しようと考えていますが、明らかにr>>aではないですよね。。。
(0,0,0)の場合も有りますし・・・

宜しくお願いします^^

お礼日時:2005/09/21 18:12

がんばってください

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この回答へのお礼

がんばってます。。。

お礼日時:2005/09/21 16:09

古い文献しか心当たりがなくて恐縮ですが、もし文献取り寄せができるのでしたら、下記のp291付近が参考になるのではないかと思います。



Smythe WR. “Static and Dynamic Electricity” 3rd edn, 291 (McGraw-Hill, New York, 1968)
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この回答へのお礼

さっそくのお答えありがとうございました。
取り寄せができるかは、わかりませんが、今回imoriimoriさんの教えてくださった文献について調べてみようと思います。

お礼日時:2005/09/21 15:43

電磁気の参考書を持っていたら、それを、読んで下さい。


Pの座標を(x,y,z)とすると、計算が面倒だと思います。
rとθを使った方がいいと思います。

たぶん、r>>a の条件がありませんか?この条件がないと、難しいですね。もし、r>>a だとすると、Pから、回路を見る立体角と、アンペールの等価磁石の法則が使えます。

ともかく、参考書を良く読んで下さい。

この回答への補足

ojisan7さんのおっしゃる通り、自前の参考書には、r>>a という条件でベクトル・ポテンシャルを用いて問題が解かれています。
しかし、今回考えている問題の条件が、a>r、または、r≧aというものなので、参考書に書かれている物が直接適応できず、質問させていただいた次第なのです。
やはり、今回考えている条件では、dBの算出は不可能なのでしょうか?
連投申し訳ありませんが、宜しくお願いいたします。

補足日時:2005/09/21 15:36
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この回答へのお礼

さっそくのお答えありがとうございました。

お礼日時:2005/09/21 15:36

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Aベストアンサー

ソレノイド中心から距離 x 離れた観測点Pをソレノイドの外側に置いて、2つの直角三角形 ACP と BDP を考えれば理解できると思います。ソレノイドの長さは L で表しています(小文字の l は数字の 1 と混同しやすいので)。

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なお、私は大学の電磁気は学習済みです。
どなたかお願いします。

Aベストアンサー

式(1)の出し方を書いておきます(ANo.1では最後の ] が抜けていましたので以下に訂正します)。
   dH = dI*r^2/[ 2*{ r^2 + ( x- x0 )^2 }^(3/2) ] --- (1)
この式に線要素 ds が入っていないのは、円コイルとして円周上ですでに積分した結果だからです。

最終的な磁界の式の導出も書いておきます。以下の計算法を理解すれば、どんな形状のコイルでも、中心軸上だけでなく任意の場所の磁界も計算可能です(解析的に積分できるとは限りませんが)。

【円コイルの中心軸上の磁界】
      x
      ↑
       ・ P ( x, 0, 0 )
      │
     O└───→ y
     / φ\
   /      ・
 z         Q ( 0, r*cosφ, r*sinφ ) 

xyz空間のyz平面上に半径 r のコイルがあって、その中心が原点 O にあるとします。そのコイル上の点を Q としたとき、ベクトルOQ_ とz軸とのなす角を φ とすれば、点Qの座標は上図のようになります。ここで円周に沿って、φ の増分方向に電流が流れているとします。点Qを始点として、その電流の方向に沿った微小ベクトル(線要素)を ds_ とすれば、それは円周の接線なので、その成分は
   ds_ = ( 0, -ds*sinφ, ds*cosφ )
であらわされます。ここで ds はベクトル ds_ の大きさで
   ds = r*dφ --- (2)
です。

ベクトル ds_ の方向に流れる電流が作る磁界 dH_ は、ビオ・サバールの法則 [1] により
   dH= = I*ds_×QP_/( 4*π*QP^3 ) --- (3)
で表わされます。I は電流の大きさです。ベクトル QP_ の成分は、点P, Q の座標から
   QP_ = ( x, -r*cosφ, -r*sinφ )
なので、ベクトル積 ds_×QP_ の成分は
   ds_×QP_ = ( r*ds, -x*ds*cosφ , x*ds*sinφ ) --- (4)
となります [2]。QP_ の長さ QP は
   QP = √( r^2 + x^2 ) --- (5)
なので、点P での磁界成分は、式(2), (4), (5) を式(3)に代入すれば
   dHx = I*r^2*dφ/{ 4*π*( r^2 + x^2 )^(3/2) }
   dHy = -I*x*r*cosφ*dφ/{ 4*π*( r^2 + x^2 )^(3/2) } --- (6)
   dHz = I*x*r*sinφ*dφ/{ 4*π*( r^2 + x^2 )^(3/2) }

円コイル全体が点Pで作る磁界の成分は式(6)をφ = 0 から 2*π まで積分したものですが、コイル電流が一様のときは
   Hx =∫[φ = 0 ~ 2*π] I*r^2*dφ/{ 4*π*( r^2 + x^2 )^(3/2) } = I*r^2*/{ 2*( r^2 + x^2 )^(3/2) }
   Hy = Hz = 0
となって、z方向成分だけが残ります。

円コイルが x = x0 の位置にある場合は x → x - x0 で置き換えればいいので
   H = I*r^2*/[ 2*{ r^2 + ( x - x0 )^2 }^(3/2) ] --- (7)
となります。これが、半径 r の円コイルに電流 I を流したときのコイル中心から距離 x - x0 での磁界の大きさです。

【内径2a、外径2b、長さ2Lの多層コイルが作る磁界】
式(7)は多層コイルの一部の単コイルが作る磁界なので、これを r = a ~ b、x0 = 0 ~ 2*L に渡って積分すれば、多層コイル全体が作る磁界 H になります。コイル電流 I は全体の電流 N*I の一部なので、単コイル当りの電流を dI と書けば
   H = ∫[ r = a ~ b ] dr ∫[ x0 = 0 ~ 2*L ] dI*r^2*/[ 2*{ r^2 + ( x - x0 )^2 }^(3/2) ] dx0
ここで、 x - x0 = r*tanθ とおけば(この θ は∠OPQ になります)
   x0 = x - r*tanθ --- (8)
    r^2 + ( x - x0 )^2 = r^2*{ 1 + ( tanθ )^2 } = r^2/( cosθ )^2
なので式(8)より
   dx0 = - r*( tanθ )' = -r*dθ/( cosθ )^2
です( 動かしているのは x0 ですから点Pの位置 x はx0とは無関係な定数とみなせます。θは x0 の関数です)。積分範囲 x0 = 0 ~ 2*L は θ = arctan(x/r) ~ arctan{ ( x - 2*L )/r } になるので
   H = ∫[ r = a ~ b ] dr ∫[ θ = arctan(x/r) ~ arctan{ ( x - 2*L )/r } ] 〔-dI/2*cosθ〕 dθ
    = -dI/2*∫[ r = a ~ b ] 〔 sin[ arctan{ ( x - 2*L )/r } ] - sin{ arctan(x/r) } 〕 dr

さらにここで、θ1 = arctan{ ( x - 2*L )/r } とおけば、tan(θ1) = ( x - 2*L )/r なので
   sin(θ1) = ( x - 2*L )/√{ r^2 + ( x - 2*L )^2 } → sin[ arctan{ ( x - 2*L )/r } = ( x - 2*L )/√{ r^2 + ( x - 2*L )^2 }
同様に、θ2 = arctan( x/r ) とおけば、tan(θ2) = x/r なので
   sin(θ2) = x/√( r^2 +x^2 ) → sin{ arctan( x/r ) } = x/√( r^2 +x^2 )
したがって
   H = -dI/2*∫[ r = a ~ b ] [ ( x - 2*L )/√{ r^2 + ( x - 2*L )^2 } - x/√( r^2 +x^2 ) ] dr
     = dI/2*∫[ r = a ~ b ] [ x/√( r^2 +x^2 ) - ( x - 2*L )/√{ r^2 + ( x - 2*L )^2 } ] dr --- (8)

式(8)の積分の第一項において、r + √( r^2 +x^2 ) = s とおけば
    r = ( s^2 - x^2 )/( 2*s )
なので
   dr = ( s^2 + x^2 )*ds/( 2*s^2 )
一方、積分範囲は s = a + √( a^2 +x^2 ) ~ b + √( b^2 +x^2 )
さらに √( r^2 +x^2 ) = ( s^2 + x^2 )/( 2*s ) なので
   ∫[ r = a ~ b] x/√( r^2 +x^2 ) dr = ∫[ s = a + √( a^2 +x^2 ) ~ b + √( b^2 +x^2 )] x/s ds
                         = x*ln[ { b + √( b^2 +x^2 ) }/{ a + √( a^2 +x^2 ) } ] --- (9)

式(8)の積分の第二項は、第一項の x を x - 2*L に置き換えたものなので
   ∫[ r = a ~ b] ( x - 2*L )/√{ r^2 + ( x - 2*L )^2 } dr = ( x - 2*L )*ln〔[ b + √{ b^2 +( x - 2*L )^2 } ]/[ a + √{ a^2 + ( x - 2*L )^2 ) } ] 〕 --- (10)
したがって式(9), (10)を式(8)に代入すれば
   H = dI/2*【 x*ln[ { b + √( b^2 +x^2 ) }/{ a + √( a^2 +x^2 ) } ] - ( x - 2*L )*ln〔[ b + √{ b^2 +( x - 2*L )^2 } ]/[ a + √{ a^2 + ( x - 2*L )^2 ) } ] 〕 】

残る dI ですが、これは、コイルの中心軸で切ったときのコイルの断面積全体に渡って積分したときに、N*I になるので
   dI*2*L*( b- a ) = N*I → dI = N*I/{ 2*L*( b- a ) }
よって
   H = N*I/{ 4*L*( b- a ) }*【 x*ln[ { b + √( b^2 +x^2 ) }/{ a + √( a^2 +x^2 ) } ] - ( x - 2*L )*ln〔[ b + √{ b^2 +( x - 2*L )^2 } ]/[ a + √{ a^2 + ( x - 2*L )^2 ) } ] 〕 】
N = 2*L*( b- a )/d^2 だから
   H = I/( 2*d^2 )*【 x*ln[ { b + √( b^2 +x^2 ) }/{ a + √( a^2 +x^2 ) } ] - ( x - 2*L )*ln〔 [ b + √{ b^2 +( x - 2*L )^2 } ]/[ a + √{ a^2 + ( x - 2*L )^2 ) } ] 〕 】

[1] ビオ・サバールの法則 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%93%E3%82%AA%E3%83%BB%E3%82%B5%E3%83%90%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%81%AE%E6%B3%95%E5%89%87
[2] ベクトル積 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%AD%E3%82%B9%E7%A9%8D

式(1)の出し方を書いておきます(ANo.1では最後の ] が抜けていましたので以下に訂正します)。
   dH = dI*r^2/[ 2*{ r^2 + ( x- x0 )^2 }^(3/2) ] --- (1)
この式に線要素 ds が入っていないのは、円コイルとして円周上ですでに積分した結果だからです。

最終的な磁界の式の導出も書いておきます。以下の計算法を理解すれば、どんな形状のコイルでも、中心軸上だけでなく任意の場所の磁界も計算可能です(解析的に積分できるとは限りませんが)。

【円コイルの中心軸上の磁界】
      x
  ...続きを読む

Qコイルの磁界について

コイルの作る磁界について教えて下さい。
円形コイルのn回巻で、コイル内の中心ではない場所の磁界の
強さです。
教科書には円の中心での磁界の強さはよく記載されているんですが
中心以外の場所での磁界については記載されている文献を見つけれないので、
詳しい人教えて下さい。

宜しくお願いします。

Aベストアンサー

aをコイルの半径として、中心線上では
Hz=a^2 NI/(2(a^2+z^2)^(3/2))

任意の点では(円柱座標)
Hz=NI/2π ((a+r)^2+z^2)^(-1/2) {K+(a^2-r^2-z^2)/((a-r)^2+z^2) E}
Hr=NI/2π z/r ((a+r)^2+z^2)^(-1/2) {-K+(a^2+r^2+z^2)/((a-r)^2+z^2) E}
ただし、K、Eはそれぞれ第1種、第2種完全楕円積分で、
K=∫{0~π/2}(1-k^2 (sinθ)^2)^(-1/2) dθ
E=∫{0~π/2}(1-k^2 (sinθ)^2) dθ
k=4ar/((a+r)^2+z^2)

参考までにベクトルポテンシャルは、
Ar=μNI/πk (a/r)^(1/2) {(1-k^2/2)K-E}

参考文献:ランダウ・リフシッツ電磁気学1、§29、問題2
ただし、単位系が異なります。

Qコイルから任意の点離れた磁束密度の求め方

N回巻いたコイルに電流Iを流しそこからa(m)離れた点の磁束密度〔T〕を求めたいのですけど。求め方が分りません。教えてもらえませんか?

Aベストアンサー

学生さんのレポートかと思ったもので,大変失礼しました.

> 一応学生時代の教科書読みまくったのですが載ってなくここに書きこんだのですが
> ちなみに有限長の直線電流から任意の点の磁束密度は求めれるのですが
> それがコイルになると・・・

それならそうと,最初から書いてくれれば良かったのに.

え~,言い訳と責任転嫁はやめまして,本題に行きます.
残念ながら,すっきりした形には表現できません.
筋としては,1巻コイル(=円電流)の作る磁場を積分すればよいのですが,
円電流の磁場自体が軸上以外では Biot-Savart 則の積分ができないのです.
できないというのは,初等関数では表せないという意味です.
場所の関数としての磁場はもちろんちゃんと定まっていますが,
その関数形が積分で定義されている,ということです.
もしかして,高等関数で表現できるのかも知れませんが,
私はよく知りません.

教科書読みまくっても見つからないのはこういう理由でしょう.
教科書によっては,「軸上以外では求めるのは困難である」というような
ことを注意しているものもあります

これをまた円電流の積層について積分しないといけないので,
いよいよお手上げですね.
まあ,もし高等関数の複雑な組み合わせで書けたとしても,
なにがどうなっているのかわかりませんね.

実用的には,Biot-Savart の法則を数値積分するのが一番いいようです.
円電流のところで積分1回(中心角で積分),
コイルの積層でもう1回ですか.
なお,コイルの形状を決めたとして,磁場は a だけでは決まりません.
コイルの中点からどれくらい離れているか(z としますか)にもよります.
軸対称性はありますから,z と a との二変数関数ですね.
あとは,コイルの半径を長さの単位に取れば,
コイルの長さがパラメーターですか.

問題の性質上,スパッとした回答になりませんが,
こういうことで....

学生さんのレポートかと思ったもので,大変失礼しました.

> 一応学生時代の教科書読みまくったのですが載ってなくここに書きこんだのですが
> ちなみに有限長の直線電流から任意の点の磁束密度は求めれるのですが
> それがコイルになると・・・

それならそうと,最初から書いてくれれば良かったのに.

え~,言い訳と責任転嫁はやめまして,本題に行きます.
残念ながら,すっきりした形には表現できません.
筋としては,1巻コイル(=円電流)の作る磁場を積分すればよいのですが,
円電流の磁...続きを読む

Q円形電流の作る磁界はアンペールの法則では導けないのでしょうか?

質問です。
円形電流の作る磁界はアンペールの法則では導けないのでしょうか?
直線の導線、ソレノイドは参考書ではアンペールの法則から磁界が導かれていましたが、円形電流はビオ・サバールの法則で求めてありました。お手数ですが、よろしくお願いします。

Aベストアンサー

(先の回答の繰返しになりますが,)
結局は∫Hdl=Iの∫Hdlが簡単に計算できるかどうか,になります.

無限長直線導体だと,軸対称性から導体から一定距離r離れた点の磁界は強さ一定で周方向成分のみ持っていることが判ります.
結果,半径rの円を積分経路にとれば,∫Hdlが簡単に2πrHと計算できます.

無限長ソレノイドの場合も同様に,対称性(とアンペールの法則)からソレノイド内部でのHは軸方向成分のみもった一定値となり,ソレノイド外では0になることが判ります.
結果,電流を含む経路で∫Hdlを簡単にHLと計算できます.

ところが円電流の場合,こういう都合のよい状況に無く,∫Hdlを簡単に計算することができません.(Hがどんな分布になっているか不明)
このため,アンペールの法則で磁界を求めることができません.

Q有限長ソレノイドについて

有限長ソレノイドによって発生する磁束の求め方を教えてください!これは単純にこのソレノイド自身のインダクタンスLと流す電流Iの積でいいんでしょうか?
あとその有限長ソレノイドの各空間(2次元)のベクトルポテンシャルを求めるプログラムを作成したのですが、そのベクトルポテンシャルから磁束を求める方法などを知っていましたら教えてください!
これは手計算で求めた磁束とプログラムで求めたベクトルポテンシャルから磁束を求めて比較することで、このプログラムが正しく動作しているかを確認するためです…。どうかよろしくお願いします。

Aベストアンサー

 
 補足拝見しました。自己努力で良い結論まで行ったようなので感心しました。
(以下、コイル半径をa、全長をb、単位長あたりの巻数をnと書きます。)



1.
>> 有限長ソレノイドはф=LI じゃ磁束は求まらないはずですよね? <<

 有限長でも成立します、фは磁束の総和=全磁束 として故意に変な大文字で書きました。というか実は 成立するのは当たり前で
  L≡ф/I
と、Lの方を定義してる式なんです、本当は。 Lの定義自体が全磁束фを使ってるんです。
(それゆえ、サイトでLを計算してもらえばその数値は1アンペアのときの全磁束なので プログラム検証に使えるという事です。 逆に 全磁束фを計算するように改造したものはL計算ソフトですね。)
 
 電荷と電束の関係で 出て行く総量=発生する総量 というのを学んだと思いますが 同じように今回も 全磁束фは発生源Aの総和です。



2.
>> 回転をとるっていうのがどうやったらよいものかと… <<

 変に遠回しに書いてすみませんでした。
AからBは rot計算ですが 今回のようにそのあと面積分してしまう場合は、
  ∫rotA・dS → ∫A・ds
という、rot計算が要らない積分に変換できてしまうんです。これはストークスの定理という使い道の多い数学公式です。
(・はベクトルの内積、左辺は面での積分、右辺はその面のヘリだけを一周する線積分です。)
だから、

>> 自分で考えまして磁束はAを線積分することにしました。(これは軸対象を仮定して単純に2πrを掛けるだけです。) <<

 GJ! ストークス定理と同じ思考をしたのなら見事です、普通は「ストークス定理の形なので‥」と公式依存でスルーが多いのです。 しかしここは電磁界計算のキモだし その思考プロセスは物理全般で応用性が絶大なのです。 超貴重な経験値だと思います。


3.
 参考までに、
コイルの形によく合う円柱座標(r,θ,z)系での
ベクトルV=(Vr,Vθ,Vz) のrot計算は
 rotV =
     { 1/r∂Vz/∂θ -  ∂Vθ/∂z } er
 +   {   ∂Vr/∂z  -  ∂Vz/∂r   } eθ
 +1/r { ∂(rVθ)/∂r -   ∂Vr/∂θ } ez
です。
er,eθ,ez は座標軸の単位ベクトル。

 今回は、磁界
  B = rotA
を求めたあと、磁束
  Φ = ∫B・dS
の積分をしてしまうので、
dSがz軸方向を向いたベクトルなので 内積は それと平行な成分しか残らない、つまりz成分しか残りません。 さらにθ方向には一様なので∂/∂θの項はゼロです。
 しかしこんな単純でない場合は大変なので ストークスの定理を使って rot計算を省略します。



4.
 全磁束фは;
単位長にループ電流がn個あるから微小長さdzの間にはndz個ある(この考えはAの式でも使ってますよね?)、Φをコイル長さbに亘って総和。
  ф = ∫[端から端まで]Φndz
    = 2πan∫[端から端まで] A'dz
A'はAのθ方向成分でr=aでの値。(あなたが結論した所ですね) nは単位長あたりの巻数=総巻数/b。
 
 

 
 補足拝見しました。自己努力で良い結論まで行ったようなので感心しました。
(以下、コイル半径をa、全長をb、単位長あたりの巻数をnと書きます。)



1.
>> 有限長ソレノイドはф=LI じゃ磁束は求まらないはずですよね? <<

 有限長でも成立します、фは磁束の総和=全磁束 として故意に変な大文字で書きました。というか実は 成立するのは当たり前で
  L≡ф/I
と、Lの方を定義してる式なんです、本当は。 Lの定義自体が全磁束фを使ってるんです。
(それゆえ、サイトでLを計算し...続きを読む

Q磁石が持つ磁界の強さの定量的な測定方法(機械を用いない方法)

途上国で理科を教えている友人から、
以下のメールが来ました。

私は物理を学んだことはあったのですが、
答えられずに困っています。

どうか、みなさんのお力をお貸し下さい。

以下、友人からのメールです。

「磁石の周りの磁界の強さを定量的に測りたいのですが、
機械を使わず測定できる方法は知りませんか?
日本では磁界の強さを測るセンサが売っていると聞いたのですが、
途上国ではそのような機械はなくて。
もしよろしければ、手作りで作れる実験器具などを用いて、
数値として計測できる方法を
ご存じでしたら教えて下さい。」

Aベストアンサー

磁界の強さを測るセンサというのはガウスメーターみたいなものですよね。測定子は数百円で売っているものですしガウスメーター自体を自作してしまうことも可能なわけで...「手作りで作れる実験器具」というのにどこまで含んでいいのかが分からないのですし、どれくらいの年齢が対象の理科なのかにもよりますので、素人考えでの測定方法を。

・クリップや砂鉄をどのくらいの量持ち上げることができるかで測定
 そんなの小学生レベルじゃん!とか言いたくなるかもしれませんね。しかし砂鉄の量をきちんと計量すれば数値化はできますし、そうすれば相対的な強さは求めることができるかと思います。
 また紙の下に磁石、紙の上に砂鉄を置いて、紙をトントンたたき磁力線を目で見える状態にしてその大きさを記録するような使い方ができるかもしれません。
 ほかにもパイプの中に鉄球を入れてパイプの外に置いた磁石でそれを固定します。そしてパイプを傾けて何度のところで鉄球が転がってしまうかとかでもいいかもしれません。
 これらの場合は相当な測定誤差が出ると思いますが


・電磁石を使う方法
 磁石と電気を通している電磁石をくっつけます。そして電磁石が下になるように磁石を持ち上げてから少しずつ電磁石にかける電圧を下げます。そして電磁石が落ちたときの電圧を測定。
 この方法の難点は電磁石に電気を通さなくても磁石にくっついてしまい、そのままで落ちないことがある点。
 磁石を吊るし型のばねばかりに固定して、その下に置いた電磁石でひっぱって、"○○gの力にするには何ボルト必要"のように測るのもいいかもしれません。


・電磁誘導を使う方法
 #2さんの方法です。電流が流れるのは一瞬ですのでメーターはアナログ式の方がいいです。また磁石を動かす速さによって電圧が変わりますので一定の高さから落とすようにするといいと思います。

磁界の強さを測るセンサというのはガウスメーターみたいなものですよね。測定子は数百円で売っているものですしガウスメーター自体を自作してしまうことも可能なわけで...「手作りで作れる実験器具」というのにどこまで含んでいいのかが分からないのですし、どれくらいの年齢が対象の理科なのかにもよりますので、素人考えでの測定方法を。

・クリップや砂鉄をどのくらいの量持ち上げることができるかで測定
 そんなの小学生レベルじゃん!とか言いたくなるかもしれませんね。しかし砂鉄の量をきちんと計量す...続きを読む

Qベクトル場の面積分に関してです

1.半球面S:x^2+y^2+z^2=9, z≧0上でのベクトル場f = (-2x, 2y, z)において、
  ∬s f・dS を求めよ。ただし単位法線ベクトルnは上向きに取る。
    (条件:面積分と極座標を用いなければならない)

2.半球面S:x^2+y^2+z^2=9, z≧0上でのベクトル場f = (2x, 2y, z)において、
  ∬s f・dS を求めよ。ただし単位法線ベクトルnは上向きに取る。
    (条件:ガウスの発散定理を用いなければならない)

この2問がどうしても解けないので教えていただけないでしょうか?
特に、1.に関しては「式変形の流れ」、2.に関しては、閉局面として扱って計算した後に底辺を除く必要があるので「底辺の計算方法」だけでも教えていただけると有難いです。

よろしくお願いします!

Aベストアンサー

ベクトルを表すために
r↑ = (x,y,z)
みたいな表記を使います.

1.
極座標(r,θ,φ)を用いると
x = r sin θ cos φ,
y = r sin θ sin φ,
z = r cos θ
であり,S上でrは一定値 r = 3 です.

∫[S] f↑・dS↑ = ∫[S] f↑・n↑ dS

なのですが,S上で
f↑・n↑
= f↑・r↑/r
= (-2x^2 + 2y^2 + z^2)/r
= (-2r^2 sin^2 θ cos^2 φ + 2r^2 sin^2 θ sin^2 φ + r^2 cos^2 θ)/r
= (-2sin^2 θ cos 2φ + cos^2 θ)r.

また,
dS = r^2 sin θ dθ dφ.
積分範囲はz ≧ 0なので,θは0からπ/2の値をとりうる.

以上より
∫[S] f↑・dS↑
= ∫[S] f↑・n↑ dS
= r^3 ∫[0,π/2] dθ ∫[0,2π] dφ (-2sin^2 θ cos 2φ + cos^2 θ)
= 2π r^3 /3
= 18π.

2.
Sに底面を合わせたものをEとし,Eを表面とする体積領域をVとすると,
ガウスの発散定理より

∫[E] f↑・dS↑
= ∫[V] div f↑ dV
= ∫[V] 5 dV
= 18π×5
= 90π.

で,求める積分は
∫[S] f↑・dS↑ = ∫[E] f↑・dS↑ - ∫[底面] f↑・dS↑
なのですが,底面での単位法線ベクトルは明らかにz軸に平行であるのに対し,
底面においてz = 0ですから,f↑は底面において f↑ = (2x,2y,0)となり
z軸に対して垂直です.
すなわち,底面においてf↑とn↑とは垂直なのです:
f↑・n↑ = 0.

したがって
∫[底面] f↑・dS↑ = ∫[底面] f↑・n↑ dS = 0
であり,求める積分は
∫[S] f↑・dS↑ = ∫[E] f↑・dS↑ = 90π.

ベクトルを表すために
r↑ = (x,y,z)
みたいな表記を使います.

1.
極座標(r,θ,φ)を用いると
x = r sin θ cos φ,
y = r sin θ sin φ,
z = r cos θ
であり,S上でrは一定値 r = 3 です.

∫[S] f↑・dS↑ = ∫[S] f↑・n↑ dS

なのですが,S上で
f↑・n↑
= f↑・r↑/r
= (-2x^2 + 2y^2 + z^2)/r
= (-2r^2 sin^2 θ cos^2 φ + 2r^2 sin^2 θ sin^2 φ + r^2 cos^2 θ)/r
= (-2sin^2 θ cos 2φ + cos^2 θ)r.

また,
dS = r^2 sin θ dθ dφ.
積分範囲はz ≧ 0なので,θは0からπ/2の値をとりうる.

以上より
∫[S] f↑・dS↑
= ∫[S] f↑...続きを読む

Q磁気を遮断するもの

10mmくらいの間隔を置いて磁石が固定されており、お互いに引っ張りあっているものの間に、何かの物質により磁力を遮断することは可能でしょうか。
その磁力を遮断する物質は何でしょうか。教えて下さい。

Aベストアンサー

磁石の磁極は2種類(N極とS極)あり異種の磁極が引き合い、同種の磁極は反発しあいます。
また、一個の磁石は、必ずこの両極を持っています。

いま2個の磁石があり互いに引き合っているのですから、一つの磁石のN極と、もう一つの磁石のS極が引き合っていると思います。

一般に磁気を遮蔽するには、No.1,3の方の回答にありますように普通は透磁率の高い(磁石で付きやすい)金属を使うのですが、これは磁石が1個のときに、その磁石のN極の磁気とS極の磁気とを通りやすい物質でつないで、外に出ないように封じ込めます。
ところが、今回は磁石が2個なので、引き合っている間に透磁率の高い物質を入れると、それぞれの磁気がこの磁石で付きやすい物質を引きますので、遮断できないと思います。

>お互いの磁力が作用しなくなりそれぞれの糸がたるみ、磁石が落ちる。といった構造にしたいのですが。
このような作用をさせたいとすると、遮蔽する考えでなくて反発させるのが良いと思います。
つまり、シート状で両面が極になっている磁石を使用します。
2個の磁石の間にN極にはN極が、S極にはS極が向くように入れます。
これで、2個の磁石は、同極に相対しますから反発されるので落ちると思います。

もし馬蹄形の磁石でしたら、少し複雑になりますが、このシート状の磁石を2枚使って、それぞれの足で逆な極性にすることになりますね。

磁石の磁極は2種類(N極とS極)あり異種の磁極が引き合い、同種の磁極は反発しあいます。
また、一個の磁石は、必ずこの両極を持っています。

いま2個の磁石があり互いに引き合っているのですから、一つの磁石のN極と、もう一つの磁石のS極が引き合っていると思います。

一般に磁気を遮蔽するには、No.1,3の方の回答にありますように普通は透磁率の高い(磁石で付きやすい)金属を使うのですが、これは磁石が1個のときに、その磁石のN極の磁気とS極の磁気とを通りやすい物質でつないで、外に出な...続きを読む

Qフリーの3次元電磁界シミュレータありませんか?

3次元的な形状で高周波特性を解析できるフリーの電磁界シミュレータはどこかに無いでしょうか?
あと、モーメント法について勉強したいと思っています。電磁界シミュレータでソースが公開になっているものはないでしょうか?
何か参考になるものがあれば教えてください。

Aベストアンサー

ここに並んでいるものでよければフリーです。Unixで動作するものはソースコードが見られると思います。プログラミングを勉強するのでしたら、他人のプログラムを解析するよりも、書籍のサンプルを拾ってきた方がわかりやすいですよ。

参考URL:http://emlib.jpl.nasa.gov/EMLIB/files.html


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