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X_1, ... , X_n をPo(λ)し従う母集団からのサンプルとし
帰無仮説 H_0 : λ = λ_0
対立仮説 H_1 : λ > λ_0
とし有意水準 ε で検定.

このときの棄却域は
2nλ_0 < χ_{2k}^2 (1- ε )
でよいのでしょうか.(kは S_n = X_1 + ... + X_n の実現値)

ある本にあった次のような演習問題ではこの棄却域を
2nλ_0 < χ_{2k}^2 (1- ε/2 )として解いています. それだと答え自体が全く正反対になってしまいます。

問題:
ある会社にかかってくる商品の注文電話の数は一日平均3件であるといわれている. 年末の10日間の注文電話の件数は
3,3,4,6,1,4,8,2,5,4
であった. この年末10日間は特に注文が多かったといえるか. 有意水準5%で検定せよ. ただし1日の電話注文の数の確率分布はポアソン分布に従うとして考えよ.


棄却域が 2nλ_0 < χ_{2k}^2 (1- ε ) であるとすると
χ_{80}^2 (0.95 ) = 60.4 > 60 より帰無仮説は棄却されるわけですが,
棄却域が 2nλ_0 < χ_{2k}^2 (1- ε/2 ) であるとすると,
χ_{80}^2 (0.975 ) = 57.2 < 60 より帰無仮説が採用. よってこの10日間は特に注文が多かったとはいえない(解答はこうなっている)

数理統計に詳しい方のご意見をお待ちしております。よろしくお願いします。

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A 回答 (1件)

棄却域はyoo_20052005さんが設定した方法でよいですし、演習問題の棄却域も正しいです。

yoo_20052005さんの方法は右側検定の棄却域、演習問題では両側検定の棄却域だからです。いずれにせよ、ポアソン分布の棄却域を求める方法は以下の等式に基づいています。

P[・]は確率、χ^2(n)は自由度nのχ^2分布に従う確率変数、Po(λ)は平均λのポアソン分布に従う確率変数だとします。このとき、
P[χ^2(2n+2)≦2λ]=P[Po(λ)≧n+1]
P[χ^2(2n+2)≧2λ]=P[Po(λ)≦n]
が成り立つ。

数学的な議論は参考URLをご覧ください。
「二項母集団、ポアッソン母集団、指数母集団の精密法による区間推定」
というところに、信頼度1-εの信頼区間の導出が書いてあります。
この補集合が両側検定の棄却域です。
また右片側検定をするのであれば、信頼区間を2εにした両側棄却域のうち、
右側の棄却域だけを見ればよいです。

いずれにせよ片側検定をする場合は、同じ有意水準の検定の場合について、
片方の棄却域に入る確率がちょうど倍になるように設定するので、
そのような違いが生じているわけです。

参考URL:http://www5d.biglobe.ne.jp/~pomath/study/statist …
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この回答へのお礼

丁寧な回答どうもありまがとうございます。とても参考になります。私自身、両側検定、片側検定という概念をあまりよく理解していなかったようです。特に離散型確率分布の区間推定、検定という話には苦手意識をもっていました。教科書や参考URL等でもういちど勉強し直したいと思います。ありがとうございました。

お礼日時:2005/10/09 17:35

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Qカイ2乗検定って何??;;

タイトルのとおりですが…大学で統計の基礎な授業を一般教養で受けています。だけど知らない&説明のない言葉がいっぱぃで、全くついていけません(>_<))
「人が一番選ばなさそうな数字」を何度か投票した結果があって、その数字は無作為に選ばれてるかどうか、有意水準1%としてカイ2乗検定をして判断する、という問題があるのですが、カイ2乗検定自体、授業でちらっと言葉は使ったものの、計算の仕方、使い方の説明等はなく、まったく手がつかずにいます;;ネットでも調べてみましたが、どう使っていいのかまでは分かりませんでした。
知識の無い私でもわかるようなものがあれば教えて下さいっっ!お願いします。

Aベストアンサー

こんにちは.χ2(カイ二乗)検定を厳密に理解するには,数学的素養を持っている状態できっちりと統計学を学習する必要があるのですが,統計データを解析するための手段として統計学を「使う」のであれば,多少の原理を知っておけばよいでしょう.
以下初学者向けにかなり乱暴な説明をしています.正確な理解をしたければ,後で統計学の教科書などで独学して下さい.

χ2検定とは,χ2分布という確率分布を使ったデータ解析法と考えてもらう……のが一番なのですが,多分χ2分布って何? と思われるでしょう.χ2分布とは,二乗値に関する確率分布と考えることができるのですが,この辺もさらりと流して下さい.

例を使って説明します.今,道行く人にA,B,C,Dの四枚のカードの中から好きなもの一枚を選んでもらうとしましょう(ただし,選んでもらうだけで,あげるわけではありません.単にどのカードを選択仕方の情報を得るだけです).一人一枚だけの条件で,160人にカードを選んでもらいました.
さて,ここで考えてみて下さい.4枚のカードには大きな違いはなく,どれを選んでもかまわない.でたらめに選ぶとなれば,どのカードも1/4で,同じ確率で,選ばれるはずですよね? ならば,160人データならば,Aは何枚ほど選ばれる「はず」でしょうか? 同様に,B,C,Dは何枚選ばれる「はず」でしょうか?
……当然,A=B=C=D=40枚の「はず」ですよね? この40枚という数値はでたらめに(無作為に)選ばれたとしたらどんな数値になるかの【理論値】を意味します.

さて,上記はあくまでも理論値であり,実際のデータは異なる可能性があります.というよりはむしろ違っているのがふつうでしょう.そのような実際に観測された数値を【観測値】と呼びます.
仮に理論値と観測値が以下のようになったとします.

        A    B    C    D
(1)観測値   72   23   16   49
(2)理論値   40   40   40   40

当然のように観測値と理論値にズレが生じています.しかし現実と理論が異なるのはある意味当然なのですからぴったり一致することなどありえません.そこで,「ある程度一致しているか(ズレは許容範囲か)」を問題にすることになります.しかし,「ある程度」といわれても一体どのぐらいであれば「ある程度」と言えるのでしょうか? なかなか判断が難しいではないですか?
確かに判断が難しいです.そこで,この判断のために統計学の力を借りて判断するわけで,更に言えばこのような目的(理論値と観測値のズレが許容範囲かどうか)を検討するときに使われるデータ解析法がχ2検定なのです.

        A    B    C    D
(1)観測値   72   23   16   49
(2)理論値   40   40   40   40
(3)ズレ    +32   -17   -14   + 9
(4)ズレ二乗 1024   289   196   81
(5)(4)÷(2) 25.6  7.225  4.9  2.025

 χ2=25.6+7.225+4.9+2.025=49.25

計算過程をさらりと書いていますが,早い話が観測値と理論値のズレの大きさはいくらになるのか,を求めることになります.最終的には「49.25」というズレ値が算出されました.

さて,この「49.25」というズレ値が許容範囲かどうかの判定をするのですが,ここで,χ2分布という確率分布を使うことになります.詳細は統計学教科書を参考してもらうとして,χ2分布を使うと,○○というズレ値が(ある条件では)どのぐらい珍しいことなのか,という「珍しさの確率」を教えてくれます.
かりに「有意水準1%=1%よりも小さい確率で発生することはすごく珍しいと考える(許容範囲と考えられない)」とすれば,「珍しさ確率」が1%以内であれば「許容範囲ではない」と判断します.

以上,長々と書きました.今までの説明を読めばわかるように,χ2検定とはある理論値を想定した時,実際の観測値がその理論値とほぼ一致しているかどうかを調べるための統計解析法のことです.

χ2検定では,理論値をどのように設定するかは分析者の自由です.その設定の仕方で,χ2検定は「適合度の検定」や「独立性の検定」など異なる名称が付与されますが,本質は同じなのです.

質問者さんの場合は

> 「人が一番選ばなさそうな数字」を何度か投票した結果があって、その数字は無作為に選ばれてるかどうか、

これを理論値としてうまく設定することが鍵となるでしょう.

こんにちは.χ2(カイ二乗)検定を厳密に理解するには,数学的素養を持っている状態できっちりと統計学を学習する必要があるのですが,統計データを解析するための手段として統計学を「使う」のであれば,多少の原理を知っておけばよいでしょう.
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Q精密法について教えてください(統計)

ポアッソン分布の母数λの区間推定の問題なのですが、精密法を用いて推定せよ、との問題があります。標本数nが大きいときは中心極限定理によって正規標本とみなして推定するのが普通だと思うのですが、おそらく精密法というのはそのような近似を行わない推定だと思います。

ある問題の回答において、標本数n=10で、標本和17となる場合の区間推定について次のようにありました。すなわち信頼度95%の区間推定について、下側信頼限界p_Lは自由度34(おそらく17×2)のχ^2分布の上側0.975点(=19.806)を標本数の二倍にあたる20で割って0.990と求まる。他方上側信頼限界p_Uは自由度36(おそらく(17+1)×2)のχ^2分布の上側0.025点(=54.437)を標本数の二倍にあたる20で割って2.722と求まる。これから信頼区間は(0.990,2.722)となる。

独立同分布なポアッソン分布に従う確率変数の和はやはりポアッソン分布に従うと思うので、ちょっとχ^2分布が出てくるのをいぶかしく思っています。手元に教科書がない上、web検索でも見つけられなかったので、ポアッソン分布の母数の区間推定に関する精密法の定義をきちんと教えていただけるとありがく思います。

ポアッソン分布の母数λの区間推定の問題なのですが、精密法を用いて推定せよ、との問題があります。標本数nが大きいときは中心極限定理によって正規標本とみなして推定するのが普通だと思うのですが、おそらく精密法というのはそのような近似を行わない推定だと思います。

ある問題の回答において、標本数n=10で、標本和17となる場合の区間推定について次のようにありました。すなわち信頼度95%の区間推定について、下側信頼限界p_Lは自由度34(おそらく17×2)のχ^2分布の上側0.975点(=19.806)を標本数の二...続きを読む

Aベストアンサー

精密法の公式は、本質的には“ただの部分積分”です。

自由度2nのカイ2乗分布の確率密度関数は
f_{n}(x)=1/{2*(n-1)!} * (x/2)^(n-1) * e^(-x/2)

∫[0~2λ]f_{n}(x)dx
=-1/(n-1)! * λ^(n-1) * e^(-λ) + ∫[0~2λ]f_{n-1}(x)dx
=-Σ(k=1~n-1)e^(-λ)*λ^k/k! + ∫[0~2λ](1/2)e^(-x/2)dx
=-Σ(k=1~n-1)e^(-λ)*λ^k/k! + [1-e^(-λ)]
=1-Σ(k=0~n-1)e^(-λ)*λ^k/k!
=Σ(k=n~∞)e^(-λ)*λ^k/k!

つまり、「自由度2nのカイ2乗分布に従う確率変数が2λ以下になる確率」と「平均λのポアソン分布に従う確率変数がn以上になる確率」が等しいことが言えます。

この余事象をとれば「自由度2nのカイ2乗分布に従う確率変数が2λ以上になる確率」と「平均λのポアソン分布に従う確率変数がn-1以下になる確率」が等しいことが言えます。

いま平均10λのポアソン分布に従う確率変数として17が得られた。
「平均10λのポアソン分布に従う確率変数が17以上となる確率」(λの下側信頼限界を求めるのに利用)=「自由度34のカイ2乗分布に従う確率変数が20λ以下となる確率」
「平均10λのポアソン分布に従う確率変数が17以下となる確率」(λの上信頼限界を求めるのに利用)=「自由度36のカイ2乗分布に従う確率変数が20λ以上となる確率」
ということです。

精密法の公式は、本質的には“ただの部分積分”です。

自由度2nのカイ2乗分布の確率密度関数は
f_{n}(x)=1/{2*(n-1)!} * (x/2)^(n-1) * e^(-x/2)

∫[0~2λ]f_{n}(x)dx
=-1/(n-1)! * λ^(n-1) * e^(-λ) + ∫[0~2λ]f_{n-1}(x)dx
=-Σ(k=1~n-1)e^(-λ)*λ^k/k! + ∫[0~2λ](1/2)e^(-x/2)dx
=-Σ(k=1~n-1)e^(-λ)*λ^k/k! + [1-e^(-λ)]
=1-Σ(k=0~n-1)e^(-λ)*λ^k/k!
=Σ(k=n~∞)e^(-λ)*λ^k/k!

つまり、「自由度2nのカイ2乗分布に従う確率変数が2λ以下になる確率」と「平均λのポアソン分布に従う確率変数がn以上に...続きを読む

Q統計学的に信頼できるサンプル数って?

統計の「と」の字も理解していない者ですが、
よく「統計学的に信頼できるサンプル数」っていいますよね。

あれって「この統計を調べたいときはこれぐらいのサンプル数があれば信頼できる」という決まりがあるものなのでしょうか?
また、その標本数はどのように算定され、どのような評価基準をもって客観的に信頼できると判断できるのでしょうか?
たとえば、99人の専門家が信頼できると言い、1人がまだこの数では信頼できないと言った場合は信頼できるサンプル数と言えるのでしょうか?

わかりやすく教えていただけると幸いです。

Aベストアンサー

> この統計を調べたいときはこれぐらいのサンプル数があれば信頼できる・・・
 調べたいどの集団でも、ある一定数以上なら信頼できるというような決まりはありません。
 何かサンプルを集め、それをなんかの傾向があるかどうかという仮説を検証するために統計学的検定を行って、仮設が否定されるかされないかを調べる中で、どの検定方法を使うかで、最低限必要なサンプル数というのはあります。また、集めたサンプルを何か基準とすべき別のサンプルと比べる検定して、基準のサンプルと統計上差を出すに必要なサンプル数は、比べる検定手法により計算できるものもあります。
 最低限必要なサンプル数ということでは、例えば、ある集団から、ある条件で抽出したサンプルと、条件付けをしないで抽出したサンプル(比べるための基準となるサンプル)を比較するときに、そのサンプルの分布が正規分布(正規分布解説:身長を5cmきざみでグループ分けし、低いグループから順に並べたときに、日本人男子の身長なら170cm前後のグループの人数が最も多く、それよりも高い人のグループと低い人のグループの人数は、170cmのグループから離れるほど人数が減ってくるような集団の分布様式)でない分布形態で、しかし分布の形は双方とも同じような場合「Wilcoxon符号順位検定」という検定手法で検定することができますが、この検定手法は、サンプルデータに同じ値を含まずに最低6つのサンプル数が必要になります。それ以下では、いくらデータに差があるように見えても検定で差を検出できません。
 また、統計上差を出すのに必要なサンプル数の例では、A国とB国のそれぞれの成人男子の身長サンプルがともに正規分布、または正規分布と仮定した場合に「t検定」という検定手法で検定することができますが、このときにはその分布を差がないのにあると間違える確率と、差があるのにないと間違える確率の許容値を自分で決めた上で、そのサンプルの分布の値のばらつき具合から、計算して求めることができます。ただし、その計算は、現実に集めたそれぞれのサンプル間で生じた平均値の差や分布のばらつき具合(分散値)、どのくらいの程度で判定を間違える可能性がどこまで許されるかなどの条件から、サンプル間で差があると認められるために必要なサンプル数ですから、まったく同じデータを集めた場合でない限り、計算上算出された(差を出すために)必要なサンプル数だけサンプルデータを集めれば、差があると判定されます(すなわち、サンプルを無制限に集めることができれば、だいたい差が出るという判定となる)。よって、集めるサンプルの種類により、計算上出された(差を出すために)必要なサンプル数が現実的に妥当なものか、そうでないのかを、最終的には人間が判断することになります。

 具体的に例示してみましょう。
 ある集団からランダムに集めたデータが15,12,18,12,22,13,21,12,17,15,19、もう一方のデータが22,21,25,24,24,18,18,26,21,27,25としましょう。一見すると後者のほうが値が大きく、前者と差があるように見えます。そこで、差を検定するために、t検定を行います。結果として計算上差があり、前者と後者は計算上差がないのにあると間違えて判断する可能性の許容値(有意確率)何%の確率で差があるといえます。常識的に考えても、これだけのサンプル数で差があると計算されたのだから、差があると判断しても差し支えないだろうと判断できます。
 ちなみにこの場合の差が出るための必要サンプル数は、有意確率5%、検出力0.8とした場合に5.7299、つまりそれぞれの集団で6つ以上サンプルを集めれば、差を出せるのです。一方、サンプルが、15,12,18,12,21,20,21,25,24,19の集団と、22,21125,24,24,15,12,18,12,22の集団ではどうでしょう。有意確率5%で差があるとはいえない結果になります。この場合に、このサンプルの分布様式で拾い出して差を出すために必要なサンプル数は551.33となり、552個もサンプルを抽出しないと差が出ないことになります。この計算上の必要サンプル数がこのくらい調査しないといけないものならば、必要サンプル数以上のサンプルを集めて調べなければなりませんし、これだけの数を集める必要がない、もしくは集めることが困難な場合は差があるとはいえないという判断をすることになるかと思います。

 一方、支持率調査や視聴率調査などの場合、比べるべき基準の対象がありません。その場合は、サンプル数が少ないレベルで予備調査を行い、さらにもう少しサンプル数を増やして予備調査を行いを何回か繰り返し、それぞれの調査でサンプルの分布形やその他検討するべき指数を計算し、これ以上集計をとってもデータのばらつきや変化が許容範囲(小数点何桁レベルの誤差)に納まるようなサンプル数を算出していると考えます。テレビ視聴率調査は関東では300件のサンプル数程度と聞いていますが、調査会社ではサンプルのとり方がなるべく関東在住の家庭構成と年齢層、性別などの割合が同じになるように、また、サンプルをとる地域の人口分布が同じ割合になるようにサンプル抽出条件を整えた上で、ランダムに抽出しているため、数千万人いる関東の本当の視聴率を割合反映して出しているそうです。これはすでに必要サンプル数の割り出し方がノウハウとして知られていますが、未知の調査項目では必要サンプル数を導き出すためには試行錯誤で適切と判断できる数をひたすら調査するしかないかと思います。

> どのような評価基準をもって客観的に信頼できると判断・・・
 例えば、工場で作られるネジの直径などは、まったくばらつきなくぴったり想定した直径のネジを作ることはきわめて困難です。多少の大きさのばらつきが生じてしまいます。1mm違っても規格外品となります。工場では企画外品をなるべく出さないように、統計を取って、ネジの直径のばらつき具合を調べ、製造工程をチェックして、不良品の出る確率を下げようとします。しかし、製品をすべて調べるわけにはいきません。そこで、調べるのに最低限必要なサンプル数を調査と計算を重ねてチェックしていきます。
 一方、農場で生産されたネギの直径は、1mmくらいの差ならほぼ同じロットとして扱われます。また、農産物は年や品種の違いにより生育に差が出やすく、そもそも規格はネジに比べて相当ばらつき具合の許容範囲が広くなっています。ネジに対してネギのような検査を行っていたのでは信頼性が損なわれます。
 そもそも、統計学的検定は客観的判断基準の一指針ではあっても絶対的な評価になりません。あくまでも最終的に判断するのは人間であって、それも、サンプルの質や検証する精度によって、必要サンプルは変わるのです。

 あと、お礼の欄にあった専門家:統計学者とありましたが、統計学者が指摘できるのはあくまでもそのサンプルに対して適切な検定を使って正しい計算を行ったかだけで、たとえ適切な検定手法で導き出された結果であっても、それが妥当か否か判断することは難しいと思います。そのサンプルが、何を示し、何を解き明かし、何に利用されるかで信頼度は変化するからです。
 ただ、経験則上指標的なものはあります。正規分布を示すサンプルなら、20~30のサンプル数があれば検定上差し支えない(それ以下でも問題ない場合もある)とか、正規分布でないサンプルは最低6~8のサンプル数が必要とか、厳密さを要求される調査であれば50くらいのサンプル数が必要であろうとかです。でも、あくまでも指標です。

> この統計を調べたいときはこれぐらいのサンプル数があれば信頼できる・・・
 調べたいどの集団でも、ある一定数以上なら信頼できるというような決まりはありません。
 何かサンプルを集め、それをなんかの傾向があるかどうかという仮説を検証するために統計学的検定を行って、仮設が否定されるかされないかを調べる中で、どの検定方法を使うかで、最低限必要なサンプル数というのはあります。また、集めたサンプルを何か基準とすべき別のサンプルと比べる検定して、基準のサンプルと統計上差を出すに必要な...続きを読む

Q加重平均と平均の違い

加重平均と平均の違いってなんですか?
値が同じになることが多いような気がするんですけど・・・
わかりやす~い例で教えてください。

Aベストアンサー

例えば,テストをやって,A組の平均点80点,B組70点,C組60点だったとします.
全体の平均は70点!・・・これが単純な平均ですね.
クラスごとの人数が全く同じなら問題ないし,
わずかに違う程度なら誤差も少ないです.

ところが,A組100人,B組50人,C組10人だったら?
これで「平均70点」と言われたら,A組の生徒は文句を言いますよね.
そこで,クラスごとに重みをつけ,
(80×100+70×50+60×10)÷(100+50+10)=75.6
とやって求めるのが「加重平均」です.

Qデータが正規分布しているか判断するには???

初歩的なことですが。。急いでいます。
おわかりになる方 教えてください。
サンプリングしたデータが正規分布しているかどうかを確認するにはどうすればよろしいでしょうか。
素人でも分かるように説明したいのですが。。
定性的にはヒストグラムを作り視覚的に訴える方法があると思います。今回は定量的に判断する方法を知りたいです。宜しくお願いします。

Aベストアンサー

>機械的に処理してみるとできました。
>でも理屈を理解できていません。
 とりあえず、理屈は後で勉強するとして、有意水準5%で有意差あり(有意確率が0.05以下)であれば、正規分布ではないと結論づけてお終いでいいのではないですか。
>この検定をもっと初心者でもわかりやすく解説しているサイト等ご存じありませんか。
 私が知っている限りでは、紹介したURLのサイトが最も丁寧でわかりやすいサイトでした。
>データの区間を分けるときのルール等ありますでしょうか。
 ヒストグラムを作成する場合、区間距離、度数区分数は、正規的なグラフになるように試行錯誤で行うことが多い(区間距離や度数区分数を本来の分布に則するようにいろいろ当てはめて解釈する。データ個数の不足や、データの取り方、または見かけ上の分布によりデータのばらつきが正しく反映されて見えないことがあるため)のですが、度数区分数は、機械的に、
=ROUNDUP(1+LOG10(データ個数)/LOG10(2),0):エクセル計算式
で区分数を求める方法があります。
 また、区間距離は、=ROUND((データの最高値-最低値)/(度数区分数値-1),有効桁数)で求め、区分の左端は、
=ROUNDUP(データの最低値-区間距離/2,有効桁数)
右端は=ROUNDUP(データの最高値+区間距離/2,有効桁数)
とします。
 区間がと度数区分数が出たら、その範囲にあるデータ数を数えて、ヒストグラムができます。
 
>最小側、最大側は 最小値、最大値を含んだ値としなければならないのでしょうか。
 ヒストグラム作成の処理に関しては、上記を参考にしてください。
 その前に、データの最小値と最大値が、正しくとれたデータか検討するため、棄却検定で外れ値が存在するか否かを検定し、外れ値が存在しないと結論づけられたら、正規分布の検定を行ってみてください。もし外れ値が存在する可能性があれば、そもそも、そのデータの信頼性が失われます。サンプリング手法の再検討(データの取り方に偏りがなかったか、無作為に設定してデータを取っていたか等)をして、再度データを得る必要があります。また、そもそも検定する以前に、データ数が少ないと判断が付かなくなってしまいますので、データ数は十分揃える(少なくとも20~30個)必要もあります。

>機械的に処理してみるとできました。
>でも理屈を理解できていません。
 とりあえず、理屈は後で勉強するとして、有意水準5%で有意差あり(有意確率が0.05以下)であれば、正規分布ではないと結論づけてお終いでいいのではないですか。
>この検定をもっと初心者でもわかりやすく解説しているサイト等ご存じありませんか。
 私が知っている限りでは、紹介したURLのサイトが最も丁寧でわかりやすいサイトでした。
>データの区間を分けるときのルール等ありますでしょうか。
 ヒストグラムを作成する場合、区...続きを読む

Q信頼区間の1.96や1.65ってどこから?

統計の問題で信頼区間を求める際に、
信頼率90%なら1.65、95%なら1.96を標本標準誤差にかけますが、
この数字はどうやって求めるのでしょう?
信頼率が他の値になった場合に解けなくて困っています。

正規分布の表から判ると習いましたが、
最大でも0.5までしか見当たらず悩んでいます。

Aベストアンサー

正規分布の表を見てみようか.

1.65 のとき, 値はいくつになっていますか? そして, その値はいかなる確率を表しているのですか?

Q工業製品の抜き取り検査のN数の決め方

実際に今起きている話ですが、例えばあるロットの一部を1箇所切り出して測定し、規格10以下に対して9であったため合格として納入したところ、客先で同じロットの別の場所からサンプリングし、検査した所、11であったらしく、このロットはNG扱いとなってしまいました。流出防止策として、安易な考えで”ロットの一部を1箇所切り出して測定し、8以上の場合は再サンプリングして判定する”としましたが、統計的に、再度サンプリングするための閾値の決め方やN数の決め方はどのようにすべきでしょうか?検査の工数増をできるだけ避けたいので、むやみやたらとN増しは行いたくなく、かといって仮に数十箇所測定して1箇所だけ規格外があっても、工場としては納品したいのが本音です。工場、客先双方が納得できる落としどころがあればよいのですが。

Aベストアンサー

今回の質問の前提条件を確認したいです.

抜き取り検査が許されているということは,普通は工程能力が十分あることが
確認されていると思います.そうでなければ抜き取り検査ではなく,全数検査する必要が
あるはずです.

今回の結果は「11」とは,規格上限に対して外れていたということでしょうか.
それとも規格上限には余裕があった上で,取り決めた数値に対して外れていたということ
でしょうか.(そうでなければ品質管理としては理屈がなっていないですが)

先ずはこの製品の工程能力がどんなものかそれがスタートです.



>仮に数十箇所測定して1箇所だけ規格外があっても、工場としては納品したいのが本音です

気持ち的には分かるところもありますが,こんなことを了解していては品質管理が分かっていない,
もしくは無視していることにしかならないと思いますが.

Qエクセル STDEVとSTDEVPの違い

エクセルの統計関数で標準偏差を求める時、STDEVとSTDEVPがあります。両者の違いが良くわかりません。
宜しかったら、恐縮ですが、以下の具体例で、『噛み砕いて』教えて下さい。
(例)
セルA1~A13に1~13の数字を入力、平均値=7、STDEVでは3.89444、STDEVPでは3.741657となります。
また、平均値7と各数字の差を取り、それを2乗し、総和を取る(182)、これをデータの個数13で割る(14)、この平方根を取ると3.741657となります。
では、STDEVとSTDEVPの違いは何なのでしょうか?統計のことは疎く、お手数ですが、サルにもわかるようご教授頂きたく、お願い致します。

Aベストアンサー

データが母集団そのものからとったか、標本データかで違います。また母集団そのものだったとしても(例えばクラス全員というような)、その背景にさらならる母集団(例えば学年全体)を想定して比較するような時もありますので、その場合は標本となります。
で標本データの時はSTDEVを使って、母集団の時はSTDEVPをつかうことになります。
公式の違いは分母がn-1(STDEV)かn(STDEVP)かの違いしかありません。まぁ感覚的に理解するなら、分母がn-1になるということはそれだけ結果が大きくなるわけで、つまりそれだけのりしろを多くもって推測に当たるというようなことになります。
AとBの違いがあるかないかという推測をする時、通常は標本同士の検証になるわけですので、偏差を余裕をもってわざとちょっと大きめに見るということで、それだけ確証の度合いを上げるというわけです。

Q【指数分布】確率変数の和

X1,X2,...,Xnは互いに独立な確率変数であり、
それぞれ指数分布 f(x)=1/λ*exp(-x/λ) (x>0)
に従います。
確率変数 Yk=X1+X2+...+Xk の確率密度関数をfk(x)
とするとき、
(1)fk(x)=∫[0,∞]fk-1(x-t)f(t)dt (x>0) を示せ。
(2)fn(x)を求めよ。
(3)確率変数 Yk=X1+X2+...+Xk の期待値、分散を求めよ。
との問題なのですが、

(1)について、
XとYが独立であるとき、Z=X+Yの確率密度関数fZ(z)は
畳み込み積分で与えられるので、
fZ(z)=∫[-∞→∞]fX(x)fY(z-x)dx を...と考えたのですが
上手く証明ができません。

また、(2)について、
指数分布が事象が起きる時間間隔が従う分布だということから
要は、n回の事象が起きるまでの時間と考え、
fn(x)=n/λ
だとは思うのですが、よくこれは特性関数から計算すれば良いのでしょうか...

どなたか数学に詳しい方が居られましたら、
ご教授のほどよろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

「畳み込み積分がいまいち理解できていない」の「いまいち」がどこからを指すのかわかりませんが, とりあえず「畳み込み積分で確率変数の和の確率密度関数が表せる」ことがわかっていれば (1) は難しくないはず... というか, ほぼ「畳み込みで書ける, 終わり」のレベル. ヒントは
X1+X2+...+Xk = (X1+X2+...+X(k-1)) + Xk.

で (2) はすっとばして (3) については, 確率変数 X の期待値を E[X], 分散を V[X] で表すことにすると, 2つの確率変数 X, Y に対して
・E[X+Y] = E[X] + E[Y]
・X と Y が独立なら V[X+Y] = V[X] + V[Y]
であることを知っていれば簡単. (1) や (2) とは無関係に解けてしまう.


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