統計力学で、グランドカノニカルを考える際に、
どういう粒子をμ=0として良いか、「きまり」がありますでしょうか。

教科書的には、「質量ゼロで、自由に消えたり出たりする粒子」
(⇒フォトン)、と書いてあるものが多いのですが、
最近は、マグノンも、ボースアインシュタイン凝縮するそうですし、
わけがわからなくなってきました。
(ボース凝縮するマグノンは、磁場でμが決まるそうなので例外的なの
でしょうか、、)。

A 回答 (2件)

> -MHの項という ことでしょうか。


> -MHの項を、μNと焼きなおしたということなのですね。

まさにその通りです.

> マグノン以外のフォトンやフォノン
> にも、何か、強制的にというか人為的に、化学ポテンシャル
> のようなものを導入することは可能でしょうか?

フォノンはちょっと思いつきません.
というか,簡単に制御できる量はないような気がします.
フォトンは,最近光を凝縮させるというような話があり,
聞いた覚えがあるのですが,よく覚えていません(情けね~).

ボーズ凝縮を起こしているという点からするならば,
普通の光でなくてレーザーの方でしょう.
波動描像の位相と粒子描像の粒子数は互いに共役な関係ですので,
通常は両者が同時に確定値を取ることはないのですが,
ボーズ凝縮すると両者が(ほぼ)確定値を取ります.
また,構造相転移がフォノンの凝縮と言うのは,

○   ○   ○   ○   ○   ○   ○

の構造で,フォノンがあると(スナップショットで)

 ○ ○     ○ ○     ○ ○     ○

のような状態が生じ得ますが,
このフォノンが位相をそろえてマクロな数発生すると
上の2番目の状態が固定されて構造相転移になります.
この場合は外から外場でコントロールしたのではなくて,
系自身がもつ不安定さが発現したものです.
つまり,ちょっとしたゆらぎがどんどん拡大されて
2番目のような状態になるわけです.
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この回答へのお礼

いつも助けていただき、本当にありがとうございます。
>>>フォノンはちょっと思いつきません
大家がこう言われるからには、何か可能性があるかもしれんぞ、
と、心に決め、オンの付く者に目をくばり続けて行くことに
します。

一つわかると、また一つ疑問が出てくるものですね。
>>ボーズ凝縮すると両者が(ほぼ)確定値を取ります.
ボース凝縮とはそういうものでしたか。

>>外から外場でコントロールしたのではなくて,
>>系自身がもつ不安定さが発現したものです.
μの入れ方には二通りあるわけですね。
そういうばトーマスフェルミの近似でも、静電場と
μを平気で足していますね。

大変勉強になりました。今後ともよろしくお願いいたします。

お礼日時:2001/11/22 13:41

μは粒子数 N を指定する条件に対するラグランジュ未定係数に


他なりません.
したがって,μ=0 としてよいのは N に対する制限がないときです.
そういうわけで,フォトン,フォノン,マグノン,などに対しては μ=0 です.

マグノンのボーズ凝縮の件ですが,
反強磁性体では磁場をかけなければ磁化はゼロ.
で,マグノンの数が磁化に対応します.
すなわち,
磁場をかけて磁化が出ればそれがマグノンの数が有限になっていることに対応します.
磁場はμの役割,磁化Mが粒子数 N の役割です.
無理に(?)μを指定したので,粒子数(=マグノン数)(の平均値)も指定されます.
あとは,マグノンが運動量空間(あるいはエネルギー空間)で
どういうふうに分布しているかが問題で,
ボーズ凝縮しているときとそうでないときはその物質の磁気的性質に違いが出ます.
適当な検索エンジンで,マグノン+ボーズ凝縮,とやると
解説がヒットします.
また,日本物理学会誌2001年2月号にも解説があります.
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
ひらたく(私にもわかるように)言うと、-MHの項という
ことでしょうか。-MHの項を、μNと焼きなおしたということ
なのですね。納得できそうです。

そこでなんですが、マグノン以外のフォトンやフォノン
にも、何か、強制的にというか人為的に、化学ポテンシャル
のようなものを導入することは可能でしょうか?

例えば、フォトンやフォノンと結合しそうなものとして、
誘電率や圧力、あるいは他の何か新しいパラメタで、
μを制御できる可能性があると考えてよいのでしょうか?
もし、そういうパラメタが存在すれば、フォトンやフォノンを
凝縮させることも原理的に可能なのでしょうか?

(フォトンやフォノンの凝縮については、昔、「普通の電磁波
は、フォトンが凝縮した状態である」とか、「構造相転移は
フォノンが凝縮した状態である」とかいう解説を見たことが
あるのですが、それが単なるたとえ(特に前者)なのか、厳密に
そう考えて良いのか、マグノンの話と絡まって、未だにこんがら
がっております。)

お礼日時:2001/11/21 09:16

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>状態というのが量をもっているわけなんですが
>状態というのはどういう量なんですか?
すでに、siegmund さんが書かれておられるように
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  =6*1/6
  =1
ということになります。

>速度やモーメントならしっくりきますが状態というのは一体何なんでしょうか?
さいころで言うと状態は「1の目が出ること」などに対応します。
この場合は6つの状態を取り得ますね。

>一個に対する状態和?
粒子が一個であっても e_n =(n+1/2)hν という結果を見れば、
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ですからこれらの確率の無限和をとるだけです。


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>状態というのが量をもっているわけなんですが
>状態というのはどういう量なんですか?
すでに、siegmund さんが書かれておられるように
エネルギー e_i の状態の実現確率がボルツマン因子 exp(-βe_i) に比例します。
このあたりの手順は統計力学の教科書に載っていると思います。
少し混乱しておられるようなので、簡単な例を出してみます。

さいころを1個振ることを考えてみます。
さいころの目がX(x=1~6)になる確率を P(x) とすると、
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Q大学院合格後の挨拶メール

現在大学4年生で大学院は他大学に行くことに決まったものです。
今年の8月の終わりに他大学の大学院(理系)の合格通知を受け取けとったのですがその後家に帰る暇もないほど研究が忙しくなり他大学の大学院の教授に挨拶のメールを送ることを忘れていました・・・・
書いてみたのですが自信がないので添削お願いします。

『YY大学YY研究室
教授 CC先生

秋冷の候、ますますご清栄のこととお喜び申し上げます。
M大学のMと申します。

先日の大学院入試では大変お世話になりました。おかげさまで、無事合格通知を頂くことが出来ました。お礼かたがたご報告申し上げます。
すぐに報告すべきでしたが研究が忙しくこのような時期となってしまいました。
大変遅くなり誠に申し訳ありません。
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お知らせいただければ幸いです。お忙しいところ申し訳ありませんがよろしくお願いします。』

Aベストアンサー

回答者1さんと同様に受け取られた教授はあまり良い感じはしないと思います。

まず、添削ですが。

教授 CC先生
→ CC教授
   教授は所属ではなく肩書きです。

M大学のMと申します。
→ M大学のMです。
   入試前の挨拶や面接ですでに面識があるのだから「申します」はおかしい。

改めてご挨拶に伺いたいと存じますが、ご都合はいかがでしょうか?
 → 改めてご挨拶に伺いたいと存じます。○月×旬ころのご都合はいかがでしょうか?
    いつの都合を聞かれているのかわからない。


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ちなみに私の計算ではP={2πmh^(-2)(kT)^2}Σ{EXP(-nμ/kT)}/n^2 (Σはn=1から∞の和) となりました。(自信はありません)

Aベストアンサー

grothendieck さんが本を紹介しておられますので
ちょっとだけコメントしておきます.
今,私の手元にはその本がありませんので,もしかしたら重複があるかも知れません.

Bose 分布関数を用いているのは大正準集合の手法に基づくもので,
指定されているのが体積 V,温度 T,化学ポテンシャル μ,で
化学ポテンシャルに共役な粒子数 N は指定されていません.
熱力学的極限では,指定された量のゆらぎなどを除いては,
大正準集合でも正準集合(V,T,N を指定)でも同じ結果が得られます.

さて,粒子数 N を指定しておいて大正準集合の方法を用いているのですから,
μはいわばダミーで,最終的には大正準集合の方法で得られた粒子数期待値
<N(μ)> が N に等しくなるようにμを決めるわけです.
で,質問にあるように,ある温度以下では合理的なμが求まらなくなります.
この温度がボーズ・アインシュタイン凝縮(BEC)温度です.

どうしてこうなるかの秘密(?)は状態密度 D(ε)にあります.
3次元自由粒子では D(ε) ∝ √ε ですので,
ε=0 の状態(すなわち基底状態)は波数 k の和をε積分近似すると
含まれなくなります.
つまり,本当は基底状態は別に扱わないといけない.
基底状態に存在する粒子が少数(N のオーダーではないという意味)のときは
熱力学的極限をとればそんなものは効きませんが,
オーダー N の粒子が基底状態にあるとなると話は別です.

それでは,2次元ではどこが違うのか?
2次元では D(ε) が定数ですので,積分近似で基底状態の寄与が消えてしまうことが
ありません.
これが2次元でBECの起こらない本質的理由でしょう.

あと,D(ε)のε依存性は次元の他に分散関係(すなわち ε(k)の形)にも
シビアに依存します.
したがって,固体中などでボース粒子(or 準粒子)が自由粒子と違う分散関係を
持っていれば2次元や1次元でBECが起こる可能性はあります.

grothendieck さんが本を紹介しておられますので
ちょっとだけコメントしておきます.
今,私の手元にはその本がありませんので,もしかしたら重複があるかも知れません.

Bose 分布関数を用いているのは大正準集合の手法に基づくもので,
指定されているのが体積 V,温度 T,化学ポテンシャル μ,で
化学ポテンシャルに共役な粒子数 N は指定されていません.
熱力学的極限では,指定された量のゆらぎなどを除いては,
大正準集合でも正準集合(V,T,N を指定)でも同じ結果が得られます.

さて,粒子数...続きを読む

Q剛体振り子の周期

剛体振り子の運動方程式 I(θの2回微分)=-Mghθ
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T=2π/ωと、ω=(θの微分)を用いるのはわかるんですけど・・・。

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これはθに関する微分方程式を解かなければいけません。
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これは、よく教科書に書いてある形の微分方程式なのですが、解き方をここに書くのは、ちょっと面倒なのでご勘弁ください。

代わりに、方程式から周期を求める簡易な方法を紹介します。

θはtの三角関数になることは、わかっているものとします。

そうすると
θ = a・sin(ωt+c)
tで一回微分すると
dθ/dt = ab・cos(ωt+c)
もう1回tで微分すると
I = dθ^2/dt^2 = -a・ω^2・sin(ωt+c)

これらを当初の方程式に代入すれば
-a・ω^2・sin(ωt+c) = -A・a・sin(ωt+c)
よって
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T=2π/ω=2π√(I/Mgh)

Q研究室訪問せずに出願。先方を怒らせました・・・・

 現在、理系の4年です。今年、他大学を受験します。本命の研究室には、以前研究室訪問したのですが、第二志望(独立系で4年がいない。)には研究室訪問せずに出願しました。
 
 その際、事前に連絡を入れるという条件だったので、連絡したところ、先方が研究室訪問せずに出願したことを非常に心配しておられ、試験終了後に一度研究室に伺うように連絡を頂きました。本命の方が合格したら、辞退しなければならないので研究室訪問は行はなかったのでが・・・
 
 これで、合格を辞退したら、さらに、失礼なことになりそうです。とにかく、本命の方を受かるように、努力しますが・・・なんとか角がたたず研究室訪問をできるにはどうしたら良いでしょうか?本命と併願していることをご説明した方が良いでしょうか?
 

 私は研究室訪問の際は、(合否がでていないため)お話だけはしっかり聞いて、本命が落ちたら進学して、合格してたら、詳しくお話をうかがったらどうもやりたい事とは違った云々といい辞退するつもりですが・・・ 不味くはないでしょうか?


 ご回答お願いいたします。

Aベストアンサー

アメリカ在住です。数年前まで某国公立大学で大学院を指導していました。

 先方の立場になってみましょう。指導する立場からすると,いろいろウソや話していないことがある学生はイヤなものです。院生は戦力ですから,実際に自分の下で頑張ってもらうことになります。それが「いやじつは,」という話しばかりでは困りますよね。素直な学生さんは本当にいい仕事をしますし,良い業績を残すと思います。

 大学院時代はいつも良いことばかりではありません。どう頑張ってもデータが出ないこともあります。そのときに辛抱強く頑張って,正直に進めるかはとても大切です。もしも変なことをしてデータをいじったり,論文をかえたりすると教室の信用問題になります。個人的には「正直」でないひとはお引き取り願っています。

 同じ学会で第一志望と第二志望の教室の先生と会うかもしれません。狭い世界ですから。その時どうしますか?ウソから始まると話しがずれたりして,どうしても上手く行かないものです。学問の世界で生きたいのに最初から学会に行きづらい,会いたくない先生がいるというのはどう考えてもマイナスです。

>内容はホームページで確認したので、大丈夫かと思っていました。
これは非常に問題ある選び方です。その教室の論文は読んでみましたか?最新の論文でもアクセプト,出版まで半年から1年かかりますから,それだけ前の研究であると言うことです。ましてHPでは何年前の研究かわかりません。あとは言葉に出来ない雰囲気も大切です。

 どの様な人数構成になっていますか?指導するのは教授,助教授,講師,助手?チームは何チーム?雑用は?就職の実績やその後の方向性は?それは志望を決めるのに大事な要素ですが,今のcyandorerさんの場合はなにも知らず,相手の印象もあまり良くはないでしょう。

 感覚的には大学院選びは結婚に近いのですが,今回は「あなたが相手の数年前のお見合い写真だけ見て,会わずに相手にいきなり入籍を迫った」ようなものです。第2志望だとしても,相手にもあなたを知ってもらう必要があります。今後同じフィールドで働く先生に「変な学生が来た」とだけ思われて終わるか(すでに手順を端折っており,現段階ではそう思われている可能性があります),「素晴らしい学生だけど残念ながら別の大学に行ってしまうんだな」と思われるのでは大違いです。ちなみにアメリカはとても人柄を見ます。業績がいい人は山ほどいますが,チームとして動けるかどうかを非常に重く見ます。最初から人脈を壊す方向は良くありません。

ご参考になりましたら幸いです。

アメリカ在住です。数年前まで某国公立大学で大学院を指導していました。

 先方の立場になってみましょう。指導する立場からすると,いろいろウソや話していないことがある学生はイヤなものです。院生は戦力ですから,実際に自分の下で頑張ってもらうことになります。それが「いやじつは,」という話しばかりでは困りますよね。素直な学生さんは本当にいい仕事をしますし,良い業績を残すと思います。

 大学院時代はいつも良いことばかりではありません。どう頑張ってもデータが出ないこともあります。そ...続きを読む

Q音響モード・光学モード

フォノンの光学モード、音響モードの図の見方がわかりません。わかりやすく説明できる方がいらっしゃったらお願いします。

ここ↓
http://cl.rikkyo.ne.jp/cl/2004/internet/kouki/rigaku/hirayama/041222/12_22.html
のページの下から1/4あたりにある図みたいなのです。

Aベストアンサー

わかりやすい説明かどうかわかりませんが、
おっしゃているのは、フォノンの振動数(またはエネルギー)を縦軸、波数を横軸にとった図のことでしょうか?
こういう図を(フォノンの)分散関係と呼びます。

たぶん高校で波(音波)において、
(波の振動数ν)=(波の速度c)/(波長λ)という関係(以下、式1と呼ぶ)を習ったと思いますが、それを拡張したものです。これを波数kを使って書くと
ω=2πν=ckです。これは分散関係の図で直線で与えられますが、フォノンの分散関係は直線にはなっていません。なぜでしょうか。
 固体の振動を例にとると、式1はλを小さくしていくと問題が発生します。つまり式1がどんなに小さな波長にでも成立するとすると問題が発生します。波長が0.01nmになったらどうなります。原子の間隔は0.1nmのオーダーなので、それよりも狭い領域に波の振動が含まれるとはどういうことでしょう。そういう波はありえないというか意味がないのです。
つまり式1は波長が極端に短いところでは変更を受けるわけです。

音響モードと光学モードとは、分散関係でkを小さくしていった場合、振動数がゼロになるのが音響モードで、有限の値をとるのが光学モードです。

結晶の単位胞に原子が1個しかない結晶では、音響モードしかありません。光学モードが現れるためには、単位胞に2個以上の原子が含まれる必要があります。

それではなぜ「音響」モードと呼ぶのでしょう。
音響モードは実は充分kが小さい領域ではω=ckという線形な関係に漸近します。つまり式1です。式1が表すのは音波だったため、「音響」モードと呼ばれます。

それではなぜ「光学」モードと呼ぶのでしょう。単位胞に原子が2つ含まれる場合はイオン結晶でよく起こり、片方が+、もう片方が-に帯電しています。
それが質問者の示したwebの図にもあるように互い違いに振動するモードが光学モードにあたり、+と-の電荷が互い違いに振動すると電気分極が振動し、光(格子振動の場合は赤外光)と相互作用します。

光学モードをもつ結晶に赤外光を当てると、光学モードの振動数に相当する赤外光が吸収されます。「光」で観測できるから「光学」モードです。

フォノンの光学モードと音響モードの話は、どんな固体物理の教科書にも載っていると思いますので、以上の説明の手がかりに一度じっくり読んでみられたらいかがでしょうか?

わかりやすい説明かどうかわかりませんが、
おっしゃているのは、フォノンの振動数(またはエネルギー)を縦軸、波数を横軸にとった図のことでしょうか?
こういう図を(フォノンの)分散関係と呼びます。

たぶん高校で波(音波)において、
(波の振動数ν)=(波の速度c)/(波長λ)という関係(以下、式1と呼ぶ)を習ったと思いますが、それを拡張したものです。これを波数kを使って書くと
ω=2πν=ckです。これは分散関係の図で直線で与えられますが、フォノンの分散関係は直線にはなっていませ...続きを読む

Qデルタ関数のポテンシャル

シュレーディンガーの式
[-(h^2/2m)(d^2/dx^2)+Vδ(x)]ψ(x)=Eψ(x)・・・★
の解のx=0での接続条件はどのように求めたらよいのでしょうか?

★の両辺を-εからεまで積分し、ε→0とすれば・・・、のような事をやれば、
ψ(+0)=ψ(-0)
ψ'(+0)-ψ'(-0)=αψ(0)
という感じになったと思うのですが、どうも上手くいきません。


1.∫[-ε→ε]d^2ψ/dx^2 dx =ψ'(+0)-ψ'(-0)となる理由
(結論を見る限り、d^2ψ/dx^2はx=0で(δ関数的に?)発散していますが、この場合にも微積分学の基本定理は成り立つのでしょうか?)

2.∫[-ε→ε]Eψ(x)dx=0となる理由
(要するに、ψがx=0で有限である理由です。ポテンシャルがδ関数で発散しているので、ψもx=0でおかしなことになっていない保証はない気がするので)

3.ψ(+0)=ψ(-0)となる理由
(もう一度何かを積分すれば導けた記憶はあるのですが)

の3つが分かれば、問題ないと思います。

シュレーディンガーの式
[-(h^2/2m)(d^2/dx^2)+Vδ(x)]ψ(x)=Eψ(x)・・・★
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★の両辺を-εからεまで積分し、ε→0とすれば・・・、のような事をやれば、
ψ(+0)=ψ(-0)
ψ'(+0)-ψ'(-0)=αψ(0)
という感じになったと思うのですが、どうも上手くいきません。


1.∫[-ε→ε]d^2ψ/dx^2 dx =ψ'(+0)-ψ'(-0)となる理由
(結論を見る限り、d^2ψ/dx^2はx=0で(δ関数的に?)発散していますが、この場合にも微積分学の基本定理は成り立つのでしょうか?)

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確かにeaternさんの疑問は誰もが感じる(べき)正しい疑問だと思います。つまりこういった異常なポテンシャルを持つ問題は取り扱いが難しいことが知られています。
私が学部でポテンシャルによる散乱問題を習った時には、問題を解く時の理論的なよりどころは連続の方程式だと習ったと覚えています。そのことは確かシッフの教科書にも議論があったと思います。(卒業の時に後輩にあげたので量子力学の教科書が手元にありませんので確認できませんが)

よって波動関数が連続である必要はまったく無いと思います。しかし大抵の教科書では簡単化のためといって、波動関数の連続性を”仮定”します。一般にはこういった異常なポテンシャル問題は量子力学的意味のある系かどうか自明でありませんから、取り合えず意味のある答えがあるかどうか計算してみようよというくらいの態度だと私は考えています。取り合えずその仮定を受け入れたします。

(1)φ(+0)=φ(-0)を仮定として受け入れる。

すると以下の事が導けます。

(2)∫dx d/dx(dφ/dx)=∫d(dφ/dx)=[dφ/dx]_{-0→+0}
=dφ(+0)/dx-dφ(-0)/dx


(3)一方でd/dx(dφ/dx)=(αδ(x)-E)φですから、0を含む微小領域[-ε,+ε]で積分してεをゼロにすると

∫dx(αδ(x)-E)φ=αφ(0) -Eφ(0)*2ε=αφ(0)

なので

dφ(+0)/dx-dφ(-0)/dx=αφ(0)

が導けます(Eも定数としましたが、これも必要ないかもしれません)。

(3)を際に波動関数が[-ε,+ε]で連続だという事を仮定したのでエネルギーに比例した項の積分は積分領域の幅×原点での波動関数で近似しましたが、結局積分領域がゼロの極限をとるとゼロです。波動関数が連続であれば微分が飛んでいても積分に何の問題もありません。
これは積分領域をx<0, x>0に分けて考えれば直感的にも納得いくでしょう。関数が滑らかでないところで積分領域を分けて考えると積分は二つの領域の和です。

最終的には量子力学で使う積分、ひいては物理で使う積分はるベールグ積分の意味で定義されていると見なすべきでしょう。私は難しい事は知りませんが、とりあえずは関数が折れ線や、さらには飛びがあっても、それが一点で起こっている限り積分測度はゼロなので大丈夫だと思います。
一点の効果は積分に利きません。もしも一点から有限の値があるいう風に積分が定義されているなら、任意の線分に実数は無限に存在するので積分は全て発散してしまいます。

(2)を導く際に、dφ/dxが連続でないと言っておきながら、更にその微分を積分するのはOKかという疑問があるでしょう。一階微分の飛びは原点の一点に限られますから、その二回微分も原点では定義されていません。しかし二回微分の値など知らなくても、やはり積分領域をx<0、x>0の二つにわけて積分すれば問題ないことが理解されると思います。なぜならやはり積分測度がゼロだからです。

と大体数学的にはかなりいい加減説明ですが、物理をやる上ではこれくらいの理解で良いのではないでしょうか。気になる場合にはるベールグ積分を勉強することになるんでしょう(数学を勉強したからといって物理の全てを厳密な方法で理解できるかどうかは疑問です)。


最後に(1)の仮定ですが、これは必ずしも必要ではありません。なぜなら量子力学の要請は確立密度

j=-i(φ*∂φ-φ∂φ*)     (∂=d/dx)

が連続であればよいことだけですから。異常なポテンシャルを解析する方法にはいくつかあるでしょうが、最も物理的なのは有限なポテンシャルの極限としてそれらを理解する事です。δ(x)ポテンシャルの場合ならそれは[-ε/2,+ε/2
で高さεを持つ階段型ポテンシャルのε→0極限として理解するとか。こういう理解では通常波動関数は連続で微分が飛びます。

確かにeaternさんの疑問は誰もが感じる(べき)正しい疑問だと思います。つまりこういった異常なポテンシャルを持つ問題は取り扱いが難しいことが知られています。
私が学部でポテンシャルによる散乱問題を習った時には、問題を解く時の理論的なよりどころは連続の方程式だと習ったと覚えています。そのことは確かシッフの教科書にも議論があったと思います。(卒業の時に後輩にあげたので量子力学の教科書が手元にありませんので確認できませんが)

よって波動関数が連続である必要はまったく無いと思います...続きを読む

Q同心球導体球の接地について

同心球導体球の接地について、過去に質問されていなかったのでおねがいします。
同心球導体球において、外側の球に電荷Qを与え、内側の球を接地した場合、電界はどのようになるのでしょうか?
(内側の球の半径a、外側の球の内径b、外径cです。)
回答は、
a<r<b、c<rの場合についてお願いします。

Aベストアンサー

(1)内球と外球の電荷
  外側の球の表面に電荷 Q を与えたとき、内側の球の表面に-Q'の電荷が誘起されるとします。
  すると、外側の球の裏面(内面)には Q' の電荷が誘起されます。このとき外側の球の表面の電荷を Q'' とすれば、外側の球の電荷の総量は Q なので、 Q' + Q'' = Q → Q'' = Q - Q'

(2)Q' を求める
  外球の外側にある半径 r ( c < r ) の球面を考えると、その球面に含まれる電荷は、内外の球の電荷の総和で、その値は
  -Q'(内側の球の表面電荷) + Q'(外側の球の裏面電荷) + Q - Q'(外側の球の表面電荷) = Q - Q'
  半径 r の球面上の電界を E1(r) とすれば、Gaussの定理より、4*π*r*E1(r) =( Q - Q')/ε → E1(r) = ( Q - Q' )/( 4*π*ε*r^2 ) ---[1]
  半径 r の球面上の電位を V1(r) とすれば、V1(r) = ∫[r~∞] E1(r) dr = ( Q - Q' )/( 4*π*ε*r )
  外側の球の表面電位は V1 = V1(c) = ( Q - Q' )/( 4*π*ε*c )

  内球と外球の間にある半径 r ( a<r<b ) の球面を考えると、その球面に含まれる電荷は、内側の球の表面電荷 -Q' だけだから、
  半径 r の球面上の電界を E2(r) とすれば、Gaussの定理より、4*π*r*E2(r) = - Q'/ε → E2(r) = -Q'/(4*π*ε*r^2) --- [2]
  半径 r の球面上の電位を V2(r) とすれば、V1 - V2(r) =∫[r~b] E2(r) dr = -Q'/(4*π*ε)*( 1/b - 1/r ) 。
  式[3]から、V1 =( Q-Q' )/( 4*π*ε*c ) なので、V2(r) = V1 + Q'/(4*π*ε)*( 1/b-1/r ) = ( Q-Q' )/( 4*π*ε*c ) + Q'/(4*π*ε)*( 1/b - 1/r )
  内側の球は接地されているので、V2(a) = 0  →  ( Q-Q' )/( 4*π*ε*c ) + Q'/(4*π*ε)*( 1/b - 1/a ) = 0
  したがって、Q' = Q/{ c* ( 1/a - 1/b + 1/c ) } = Q/{ 1 + c*( 1/a - 1/b ) } --- [3]

(3)電界分布
  式[3]を式[1],[2] に代入すれば
  E1(r) = ( Q-Q' )/( 4*π*ε*r^2 ) = Q*[ 1 - 1/{ 1 + c*( 1/a - 1/b ) } ]/( 4*π*ε*r^2 ) = Q*c*/[ { a*b/( a - b ) + c }*4*π*ε*r^2 ]
  E2(r) = -Q'/(4*π*ε*r^2) = -Q/[ { 1 + c*( 1/a - 1/b ) }*4*π*ε*r^2 ]

(4)まとめ
  a<r<b のとき、E = Q*c*/[ { a*b/( a - b ) + c }*4*π*ε*r^2 ]
  c<r  のとき、 E = -Q/[ { 1 + c*( 1/a - 1/b ) }*4*π*ε*r^2 ]

(1)内球と外球の電荷
  外側の球の表面に電荷 Q を与えたとき、内側の球の表面に-Q'の電荷が誘起されるとします。
  すると、外側の球の裏面(内面)には Q' の電荷が誘起されます。このとき外側の球の表面の電荷を Q'' とすれば、外側の球の電荷の総量は Q なので、 Q' + Q'' = Q → Q'' = Q - Q'

(2)Q' を求める
  外球の外側にある半径 r ( c < r ) の球面を考えると、その球面に含まれる電荷は、内外の球の電荷の総和で、その値は
  -Q'(内側の球の表面電荷) + Q'(外側の球の裏面電荷...続きを読む

Q正孔の有効質量とは

半導体の教科書に正孔の有効質量と出てきました
正孔は電子がない状態を表すので質量は0ではないのですか?
わかりません

それと、具体的なその値も教えていただければ
うれしいです

Aベストアンサー

有効質量は、ほんとの質量とは全く別物です。
正孔だけではなくて、電子の有効質量も、電子の本当の質量とは、ほとんど関係ないです。

もし、電子が真空中に1個だけ、あって、そこに電界をかければ、ニュートンの古典力学では、
F=qE = ma (q:電子の電荷、m:電子の質量、a:加速度)
という運動方程式になります。

ところで、半導体では、結晶を考えています。
結晶っていうのは、原子が周期的にたくさん並んでいるものです。
この結晶に電界Eをかけたとすると、結晶中の電子(伝導電子)は、電界Eによる力ももちろん受けますが、それだけではなくて、結晶中の電子は、周期的に並んでいる原子核から力(本当は量子力学を考えているので、「力」という言葉を使うのはかなり語弊があるのですが)からも力を受けています。しかも、結晶ですから、原子核は近いのから遠いのまで大量にあります。
なんで、結晶中の電子の運動は、実際には、上に書いたような簡単な式では表わすことができません。

な、はずなんですが、実は、うまいこと近似をすると、結晶の原子核たちから受けている力をすべて忘れてしまって、その代わりに、電子の質量がmではなくて、m'になったと思ったような式
F = qE = m'a
で、結晶中の伝導電子の動きが(近似的にですが)記述できてしまうということがわかったんです。本当は、結晶中のすべての原子を考えて、さらに量子力学を考えなければ、結晶中の伝導電子の動きは記述できないはずなのに、実は、それが、古典力学の式で、質量の値を有効質量というものに取り替えると、近似的には、電子が真空中に1個あるのと同じように扱えてしまう、ということです。これを、準古典力学表示 と言っています。
この有効質量というのは、電子の質量というよりは、むしろ、結晶を構成する原子や、結晶の構造によって決まっています。

で、正孔の有効質量ですが、これも、質量となってますが、本当の質量とはほとんど関係ないです。正孔は、本当は電子が抜けた穴なわけですが、その電子の抜けた穴がどう動いていくかを量子力学をつかってきちんと記述するかわりに、ある有効質量をもった+電荷を持つ正孔という粒子が真空中に1個あると思って、古典力学の式を立てると、たまたま、うまくいってしまうんです。

ただし、この準古典力学は、あくまで近似なんで、本当は正しくありません。正確に言えば、ポテンシャル関数の極値の周りでしか成り立ちません。なんですが、半導体では、普通、価電子帯の中で一番エネルギーが高い電子(ポテンシャル関数が極大値を取るところ)と、伝導帯の中で一番エネルギーが低い電子(ポテンシャル関数が極小値を取るところ)、にしか興味がないことが多いので、たいていうまく行ってしまいます。

有効質量は、ほんとの質量とは全く別物です。
正孔だけではなくて、電子の有効質量も、電子の本当の質量とは、ほとんど関係ないです。

もし、電子が真空中に1個だけ、あって、そこに電界をかければ、ニュートンの古典力学では、
F=qE = ma (q:電子の電荷、m:電子の質量、a:加速度)
という運動方程式になります。

ところで、半導体では、結晶を考えています。
結晶っていうのは、原子が周期的にたくさん並んでいるものです。
この結晶に電界Eをかけたとすると、結晶中の電子(伝導電子)は、電...続きを読む


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