三角関数の定積分そして双曲線関数・・・

∫1/(a+cosθ)をmathmaticaで解いたところ、
-2ArcTanh[((a-1)Tan[θ/2])/(√(1-a^2)]/(√(1-a^2))
となったんですが、
どう展開すればこのようになるのか不明です。
また、0<θ<2πでは、答えはいくらになるのでしょうか？
難しいとは思いますが、よろしくお願いします。

No.4 ベストアンサー 回答者： oyaoya65 回答日時： 2005/10/20 03:17

#1,#2,#3です。

＞どこからarctanが出てくるのでしょう？
∫1/(1+t^2) dt = arctan(t) + C
これは arctan(x)の公式または定義にもなっている式です。t=tanφと変数変換すれば直ぐ導出できる公式です。
覚えておいてください。

所で途中の計算式を示して置きますので追ってみてください。
I=2∫[0→π] 1/(a+cosθ)dθ
t=tan(θ/2)とおくと
dt=(1/2)(1+t^2}dθ→dθ=2dt/(1+t^2)
積分範囲:θ=0→π　⇔　t=0→∞
{cos(θ/2)}^2 =1/(1+t^2)
a+cosθ=a+2{cos(θ/2)}^2 -1 = a-1 + 2/(1+t^2) =(a-1){(a+1)/(a-1)+t^2}/(1+t^2)
積分変数をθからtに変換して
I=2∫[0→∞] 2/[(a-1){(a+1)/(a-1)+t^2}] dt
={4/(a-1)}∫[0→∞] 1/(A^2 +t^2} dt,A^2=(a+1)/(a-1)
t=A tan xとおくと
積分範囲：t=0→∞　⇔　x=0→π/2
dt=A{1+(tan x)^2}dx
A^2+t^2=(A^2){1+(tan x)^2}
I={4/(a-1)}∫[0→π/2](1/A)dx =2π√{(a-1)/((a+1)}

この回答へのお礼

ありがとうございました。完璧な解説、非常に感謝しています。
最後まで計算することができました。
しかし、最後の答えは、私の場合
I=2π/{√(a^2-1)}
となりました。
最後の答えのところだけ確認お願いします。
本当にありがとうございました。
確認が終了しだい、この質問を締めようと思います。
感謝！感謝！

お礼日時：2005/10/20 08:08

No.5 回答者： oyaoya65 回答日時： 2005/10/20 12:08

#1,2,3,4です。

A#4での指摘の有難うございます。
＞I={4/(a-1)}∫[0→π/2](1/A)dx =2π√{(a-1)/((a+1)}
I={4/(a-1)}∫[0→π/2](1/A)dx =2π/√(a^2 -1)
の誤りです。

最後の最後でのお見苦しいミスでした。(^_^;)

この回答へのお礼

かなりすっきりしてます。やっぱ数学の問題って解けると気持ちいいですよね。
本当にどうもありがとうございました。

お礼日時：2005/10/20 16:00

No.3 回答者： oyaoya65 回答日時： 2005/10/19 23:25

＞{-2/√(a-1)}∫[1/{t-√(a-1)} -{1/t+√(a-1)}]dt

この部分分数に分ける前の式の段階で間違っているようです。この被積分関数の式が積分範囲でゼロになるような分母の式{t-√(a-1)}が現われた時点でエラーに気がつかないといけませんね。

この回答への補足

どんなに頑張っても、
{2/√(a^2 -1)}arctan[{(a-1)tan(θ/2)}/√(a^2 -1)]+C
までたどりつきません。
どこからarctanが出てくるのでしょう？
部分分数の分け方も間違っている？
これが最後の質問にしようかと思っています。
通常の人ならすでに解けているでしょうに・・・
高校の時の基礎をなおざりにしたばっかりにこんなに
ご迷惑をおかけしてすみませんでした。

補足日時：2005/10/20 00:29

No.2 回答者： oyaoya65 回答日時： 2005/10/19 21:43

Mathematicaでは不定積分が質問のような式になりますが

式をみれば分かるとおりaが√の中に入っていて
積分結果から見れば明らかに|a|＜1でないといけません。

ところがこの範囲のaに対してθ=0～2πの積分は発散します。つまりMathematicaの積分結果が正しくないことを意味しています。

θ=0～2πの範囲の積分で積分値が存在する場合は
a＞1の場合です。
この時の不定積分は次のようになります。
{2/√(a^2 -1)}arctan[{(a-1)tan(θ/2)}/√(a^2 -1)]+C

積分値は遇関数であることからθ=0～πの区間の積分値を2倍したものになります。

後はご自分でやれますね。

この回答への補足

ありがとうございます。だいぶ分かってきました。

しかし、どんなに頑張っても、
{2/√(a^2 -1)}arctan[{(a-1)tan(θ/2)}/√(a^2 -1)]+C
までたどりつきません。

途中までの計算ですが、
{-2/√(a-1)}∫[1/{t-√(a-1)} -{1/t+√(a-1)}]dt
ってやっぱり間違ってるんですかね？

補足日時：2005/10/19 22:39

No.1 回答者： InugasaGinjiro 回答日時： 2005/10/19 21:11

こんばんは。

(1) 分母分子に \cos \theta をかけて、(2) 0 < \theta \leqq \pi, \pi \leqq \theta < 2\pi でぶんかつして、\cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta} を用いて変形

で、何とかなりませんか。只の思いつきなんですが、、、。