球の体積を微分すると…、

こんばんわ。かなり困っているのでご教示願います。

球の体積は、積分を用いて”4πrの3乗/3”と導き出すことができました。
そして、この値を微分すると”4πrの２乗”、つまり、球の表面積がでることも分かります。

しかし、なぜ微分すれば、体積から表面積が導きだせるのかが分かりません。そもそも、微分の根本的な意味を理解できていないからだと思います。（微分とは、曲線上の点に接線を引く作業であることぐらいしか分かりません。）

そこで、「球の表面積は、球の体積を～～～～したものなので、球の体積を微分すればいい。」といった説明ができるようになりたいです。

どうかよろしくお願いいたします。

No.6 ベストアンサー 回答者： iceforceless 回答日時： 2005/12/22 20:15

色々な考え方がありますが、視点を変えて「表面積を積分したら体積になる」ことを考えてみましょう。

例えば積分で体積を求めるときは、ある断面を考えて、その面積を積分していけば体積になりましたよね？
それと同様の考え方で球の体積を求めることにします。
ただ、高校の教科書などでは平面に切断してその面積を積分していましたが、今回は平面にせずに半径rの球の表面積で考えてみましょう。
求めたい球の半径がaとします。
半径rの球の表面を、rを0からaまで動かすとちょうど半径aの球になりますよね。
よって
球の体積＝∫(4πr^2)dr (0からaまで積分)
となります。
これより、微分と積分はちょうど逆の関係にありますから、体積を微分すると表面積になることがわかります。

No.5 回答者： sak_sak 回答日時： 2005/12/20 00:08

たとえば体積が『30cm3』みたいな定数だったら微分したら0ですよね。

No.2さんも書かれていますが「rで微分している」という事実がとても重要です。
「rで微分する」ということは、もの凄く大ざっぱに言ってしまうと「rが少し増えたら、どれだけ体積が増えるか」ということです。
半径10cmの球が膨張して、半径10.1cmの球になるとしましょう。どれだけ大きくなったのかと言えば、差は厚さ1mmの皮の分ですよね。その皮の面積って…ということです。

No.4 回答者： poosan0011 回答日時： 2005/12/19 23:47

球の体積は円の回転体として積分で求められますが、表面積を十分に小さい正方形に分け、半径を高さとした四角錐の合計とも考えられますよね。

つまり表面積*半径／３で求められますよね。
表面積は細長く皮を剥くと縦が直径、横が円周の長方形と考えられ、２ｒ*２Πｒ＝4πrの２乗。
体積は4πrの２乗*ｒ／３＝４πｒの３乗／３。
つまり表面積から体積へと発展させて考えたことはありましたが、体積を微分して表面積となると考えたことはありませんでした。
３５年も昔の話ですが・・・・・。

No.3 回答者： 0123456789A 回答日時： 2005/12/19 23:30

ｒで微分しているからです。

ｒで微分するというのは少しだけ大きい球(半径r+dr)の体積から
半径rの球の体積を引いてその厚みdrで割ったものと考えればいいんです。
つまり厚みdrの薄い球殻の体積をその厚みでわってるのだから
球殻の表面積＝球の表面積になるのです。

No.2 回答者： gatyan 回答日時： 2005/12/19 23:06

逆に、球の体積は薄皮（表面積）を重ねる（積分する）ことで求まるというのは？

No.1 回答者： ymmasayan 回答日時： 2005/12/19 22:50

中心から球を切り開いて机の上に置いたとします。

表面積の上に沢山のとげ(円錐？)が
林立した形になりませんか。

この円錐の体積の合計が球の体積です。
４πr^2×r/3・・錘だから/3

という説明では？