No.2ベストアンサー
- 回答日時:
なんとなく、気持ちが分かるような気がしないようなするような、です。
「素直」って仰るのは大体のところ、(1)至る所で微分可能で、
(2)(測度論の意味で)ほとんど至る所で一致する関数は唯一で、
(3) フーリエ変換が収束する。
(4) そういう関数の族(線形空間)。
それは滑らかな連続関数ってことと概ね同じのように思います。だから裏返せば、フーリエ変換が周波数→±∞で速やかに0に収束するということでしょう。
(5) さらに、そのフーリエ変換して得られる関数の族が元の族と一致して欲しい。
てことは、やっぱりガウシャンが便利じゃないかな。なにしろフーリエ変換に於ける不動点ですから。
適当に関数fを持ってきて、これに幅の狭いガウシャンg1をconvolutionして平滑化したものに、さらに幅の広いガウシャンg2を掛け算したもの、っていう関数hを考える。そしてg1の幅を→0に、g2の幅を→∞に持っていくことによって、素直な関数の極限としての超関数の族が作れそうです。
ここに出てきた関数のフーリエ変換をそれぞれF,G1,G2,Hとしますと、Fに幅の狭いガウシャンG2をconvolutionして平滑化したものに、さらに幅の広いガウシャンG1を掛け算したものがHになっている。だから、(1)~(5)を満たしてくれそうです。
「フーリエ変換が周波数→±∞で速やかに0」ってのをexp(-x^2)のオーダーで押さえ込むと、扱える関数が少なくなっちゃう。だから、目一杯話を広げようとするのが超関数論という訳で、変なのまで入れなくても構わないと開き直ればそれでおしまいだと思います。
なお、stomachmanの場合、大抵
δ(x) = if |x|<ε then 1/(2ε) else 0
で事足りてる。(ε→+0)
微分したくなったら、勝手に
δ(x) = if |x|<ε then (1-|x|/ε)/ε else 0
に変えてしまいます。計算の都合によってくるくる定義を変えてしまう。n階微分が必要だと大変ですけどね。
No.1
- 回答日時:
δ関数でいいのでしょうか?
正規分布の分散を0に近づけたものとか
ローレンチアンの半地幅を0に近づけたものとか
規格化されたsinc関数の周期(?)をあげていくとか
極限で真中付近に値(?)があって、周囲が0になるような規格化された関数を考えて極限にもっていけばいいんじゃないでしょうか?
フーリエ変換で考えると十分δ関数に近ければ、大きな値をとる部分は非常に狭い範囲に限られてこれを近似しようとすると周波数の大きな部分にその構造が反映されて最終的に極限で無限に追い出されて、逆に(無限大から見て)低い周波数は原点以外は0ということで抑えられて、みんな同じスペクトル強度になっちゃうんじゃないかと思うのですが。なんかへんなこともおこりそうな気もします。
この回答への補足
回答ありがとうございます
δをガウシアン等の極限で定義するのはよくあることですが
変な関数が入らないように
シュワルツや佐藤のようにδだけでなくすべての素直な関数を体系的に超関数に組み入れることができるような定義がほしいのです
ほとんど至る所等しい2つの関数が同一であり
フーリエの反転公式が成立するようなもの
自然界やエレクトロニクスに出てくる関数は変な関数ではないので
それを理解するツールとして使いたいのです
しかしδは便利なので素直な関数に含めたい
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 物理学 内積 3 2022/12/04 18:41
- 数学 関数1/(1+√x)のx=1における微分係数を微分の定義に従って求めよ。 これについて教えていただき 5 2023/07/22 19:08
- 数学 関数の極値と微分係数の関係について 6 2023/04/23 14:35
- その他(教育・科学・学問) エクセル関数について 2 2022/12/23 08:59
- 数学 モデルのパラメータの定義がいまいちわかりません。 3 2022/10/11 15:16
- 数学 【数学ⅲ】三角関数と合成関数の微分について 4 2022/07/07 21:44
- 数学 正規数の定義で分からないことがあります。 正規数の定義について専門書において 「xがr進正規であると 1 2023/07/17 20:50
- 数学 「違います 質問11 n≦-2ではz≠π/2で g(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1) 3 2022/07/16 18:12
- 高校 数学Ⅰの一次関数について。 6 2023/08/15 02:15
- 数学 逆関数 5 2022/10/19 15:58
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
なにしてるかわからない。。
-
皆さん定義を教えてください 「...
-
ACCESS VBAでインポート定義の場所
-
「互いに素」の定義…「1と2は互...
-
べき乗
-
無限から無限を引いたら何にな...
-
0と0は互いに素か
-
三角関数(たとえばf(x)=sinxと...
-
ACCESS IIF関数 複数条件の設...
-
えっ!「来週」の使い方…
-
texのchapterの改ページについて
-
複雑な家庭とは
-
平方和、平方差とは?
-
「logx^2=2logx」が間違って...
-
数学の両辺2乗と√について教え...
-
tanhXの近似式について
-
eの0乗は1ってどういう原理です...
-
数字の1とは何なのか?
-
最大元と極大元の定義の違いが...
-
ヘシアンが0の場合どうやって極...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
皆さん定義を教えてください 「...
-
べき乗
-
無限から無限を引いたら何にな...
-
1未満と1以下の違い
-
p⇒q=(¬p)∨qについて
-
「logx^2=2logx」が間違って...
-
数字の1とは何なのか?
-
「互いに素」の定義…「1と2は互...
-
変数の宣言の名称を教えてくだ...
-
ACCESS VBAでインポート定義の場所
-
日本語 ことば ひとまわり ふた...
-
ACCESS IIF関数 複数条件の設...
-
Excelファイルの「数式」タブ→...
-
e<3の証明を教えてください。
-
なぜ小数は自然数ではないので...
-
ヘシアンが0の場合どうやって極...
-
2進数の符号ビットの入った数...
-
最大元と極大元の定義の違いが...
-
eの0乗は1ってどういう原理です...
-
フーリエ級数展開の初項はなぜa...
おすすめ情報