ベクトルの扱い方について

座標平面上の点を回転する時には、座標を複素数表示に変換して複素数平面の点として回転するというのはなんとなく分かります。問題は複素数平面でものを考えるときなのですが、例えば、複素数平面上のP,Q,R,Sで、→PQと→RSが90度で交わっていたとすると、普通はQ-P=(S-R)k(cos±90+isin±90)と立式すると思うのですが、→PQ・→RS=0（内積）とやってはなぜだめなのでしょうか。

それと、「Q-P=(S-R)k(cos±90+isin±90)」ではなくて「→PQ=→RS×k(cos±90+isin±90)」と書かないのはどうしてなのでしょうか。

ベクトルの座標平面上での使い方は複素数平面では通用しないのでしょうか。両者は同じ者だと思っていたのですが。よろしくお願いします。

No.1 回答者： noname#4530 回答日時： 2001/12/19 00:23

>、→PQ・→RS=0（内積）とやってはなぜだめなのでしょうか。

これはOKですよ。なにしろ、→PQと→RSが90度で交わっているんですから。

>「→PQ=→RS×k(cos±90+isin±90)」

これはベクトルと複素数が混在しているのでダメです。
なぜならベクトルと複素数の間には演算が定義されてないからです。
→PQ , →RSを複素数に直さないといけないですね。
ここで注意しないといけないのは、(cos±90+isin±90)を
(cos±90,sin±90)というベクトルに直してもダメだと言うことです。
ベクトルに掛け算（×）という演算は定義されていないからです。

>両者は同じ者だと思っていたのですが。

同じモノではないと思いますよ。
ただ、(２次元実)ベクトル全体の集合と複素数全体の集合が
一対一に対応しているだけだと思います。

(a , b) ⇔ a + ib

みたいな感じで。混同してはいけません。

あ、一応、「自信あり」にはなってますけど、ぺーぺー学生なので、
なにか勘違いしてるかもしれません。そのトキはごめんなさい。

No.2 回答者： noname#4530 回答日時： 2001/12/19 01:22

＃１の回答でちょっと勘違いしてました。

>これはOKですよ。なにしろ、→PQと→RSが90度で交わっているんですから。

OKじゃないですね。(汗汗)　複素数平面で考えてるんですからね。
複素数の世界では、→PQや→RSのようなベクトルなんてないですからね…
この場合、複素数平面をベクトルの平面と見直せば、
→PQ・→RS=0（内積）とやってOKです。
とまれ、しょせんは表現の違いに過ぎず、本質は変わりないです。
繰り返しになりますが、
複素数と(2次元実)ベクトルは、一対一に対応しているだけで
同じモノではない、ということを理解しておけば問題はないですね、きっと。

No.3 回答者： hismix 回答日時： 2001/12/19 10:22

１つ気になったのですが

＞複素数平面上のP,Q,R,Sで、→PQと→RSが90度で交わっていたとすると、
＞普通はQ-P=(S-R)k(cos±90+isin±90)と立式すると思うのですが・・・

これはよく見るとおかしいですよね
→PQと→RSが90度で交わっていただけなら、ベクトルの端点が重なっているか
どうかはわかりません
だからQ-P=(S-R)k(cos±90+isin±90)は成り立ちません
正確に書けば
Q-P=(S-R)k(cos±90+isin±90)＋P-R
とすれば成り立っています

以上はケアレスミスでした
ここからは端点が一致しているという仮定のもとで話しをしましょう

それと記号の使い方もちょっと言及させてもらうと
＞複素数平面上のP,Q,R,S
というのは複素数自身ではなくて、その複素数の点に名前をつけたものですね？
複素数のつもりなら普通α、β、γ、δなどといったものを使いますから
ここではその点の名前であるとして話をすすめます
すると
→PQ・→RS=0（内積）・・・(1)
は成り立ちますね
実際に確かめたい場合は成分を与えて計算してみればいいわけです
ベクトルの内積は各成分の積の和で与えられるので
適当にP,Q,R,Sを直角になるような座標で与えれば
(1)が成り立つことはすぐに確かめられます
だからNo２さんはちょっと勘違いしてますね
というのは、ベクトルは複素数平面上で考えられます
高等学校におけるベクトルの定義は
「長さと方向をもつもの」
でした。複素数全体は絶対値を長さとし、また直角の概念を内積で与えることで
方向も定義されています
よってベクトルを考えることはできるのです

次に
＞「→PQ=→RS×k(cos±90+isin±90)」と書かないのはどうしてか
というのですが
これはNo２の方とだいたい同じですがちょっと違います（笑）
そもそも→RSに複素数iをかけることは定義されてませんよね
ベクトルで定義されているものは
加法とか実数倍でした
だから複素数倍っていうのはまずいんです
実数倍しか使えないので、長さを伸ばすことしかできない
だから回転を与えるために積の定義された複素数と同一視すると
便利ですよーっていう話なんです
またわからないことがあったら聞いて下さい

この回答へのお礼

hismixさんこんにちは。どうもお返事ありがとうございます。

＞だからQ-P=(S-R)k(cos±90+isin±90)は成り立ちません
正確に書けばQ-P=(S-R)k(cos±90+isin±90)＋P-R
とすれば成り立っています

すいません。ここなのですが、ベクトルは始点を自由に動かせると思うので、S-Rを90度回転させたベクトルをQ-Pにあわせることはできるのではないでしょうか。ベクトルの成分は始点を原点に持っていったときのさきっちょの座標だと思うので、そう考えるとQ-P=(S-R)k(cos±90+isin±90)でも良いと思うのですが。

＞＞複素数平面上のP,Q,R,S
というのは複素数自身ではなくて、その複素数の点に名前をつけたものですね？

はいそうです。

＞→PQ・→RS=0（内積）・・・(1)
は成り立ちますね

なるほど、成り立つのですね。そこでなのですが、90度を翻訳するときに複素数の回転であらわす（kiをかける)という方法とベクトルの内積と見る方法があることになると思うのですが、それぞれのメリットはどういったところにあるのでしょうか。今まで見た中では、座標平面ではベクトルの内積で、複素数平面のときは回転で処理するのがほとんどだったのですが、なぜこうなるのでしょうか。

それと、まったく関係のない話で恐縮なのですが、「ベクトルの成分」は座標という意味だと思うのですが、「複素数の成分」という言葉はあるのでしょうか。

よろしくお願いします。

お礼日時：2001/12/20 00:50

No.4 回答者： noname#4530 回答日時： 2001/12/19 22:42

＃２で回答した者です。

>この場合、複素数平面をベクトルの平面と見直せば、

そういえば「ベクトルの平面」なんて言葉はあまり聞いたことないな、
と、＃３の方の回答を読んで気付きました。「平面を見直す」のではなく、
「平面上の点を(位置)ベクトルと見直す」に訂正します。

要は、まず平面があって、その平面上の点を複素数と見るのか、
それとも(位置)ベクトルとみるのか、ですかね…

混乱させてしまったかもしれません。ごめんなさい。

この回答へのお礼

det_mul2さん何度も寄っていただいてどうもありがとうございます。

＞要は、まず平面があって、その平面上の点を複素数と見るのか、 それとも(位置)ベクトルとみるのか、ですかね…

なるほど、要はそういうことだったんですね。複素数平面とみないということですね。ありがとうございました。

お礼日時：2001/12/20 00:32

No.5 回答者： hismix 回答日時： 2001/12/20 13:54

＞ベクトルは始点を自由に動かせると思うので、S-Rを90度回転させたベクトルを

＞Q-Pにあわせることはできるのではないでしょうか。ベクトルの成分は始点を
＞原点に持っていったときのさきっちょの座標だと思うので、そう考えると
＞Q-P=(S-R)k(cos±90+isin±90)でも良いと思うのですが。

何を言いたいのかがなんとなくわかります（笑）
最初からどうも気になっていたんですが、やはり記号に混乱の原因があります
前回の回答でPとかQは複素数ではなく、点の名前であるということですよね
ではQ-Pっていうのは？
ぼくはこれを見たとき、この場合に限ってPとかQをその点の複素数であると
みなしました。
というのも、もし点の名前だったらQ-Pの"－"は定義されて無いからです
このようにいったん複素数として考えると始点を考えなくてはならず
Q-P=(S-R)k(cos±90+isin±90)＋P-R ですね？って言ったのです。

おそらくs-wordさんはこのQ-Pを→PQの意味で使ったんですね？
そうなると→PQ=k(cos±90+isin±90)→RSが成り立つと思う気持ちは分かります
しかし残念ながらこの表記は間違いなのです
これは前回も回答したのと同じようにベクトルを複素数倍することは
定義されていないからなのです。だからベクトルを回転する作用を表現したい
ときは高校数学では複素数を使うことが必要になるのです

＞90度を翻訳するときに複素数倍するという方法とベクトルの内積と見る方法が
＞あることになると思うのですが、それぞれのメリットはどこにあるのですか

この疑問は本当にもっともですね。平面の点を原点を始点としたベクトルでも
表せるし、複素数でも表せる。一体どっちを使えばいいのかということですよね
実は高校数学においては２つとも同じものなのです

つまりベクトルでも回転はあらわせるのです。
これ以後どうやるかを説明しますが飛ばし読みで結構です
☆☆☆☆
じゃあどのように表すかというと行列を使うのです
例えば→aを反時計周りに角度θだけ回転させる行列というのは
(cosθ,-sinθ,sinθ,cosθ)で表されます
ここでこの行列は２×２行列で成分ごとに羅列して表記しました
では使い方ですが、これをAとおくと
A→aといのが回転後のベクトルの成分表示になっています
実際に値を入れてみると納得すると思います
例えば→a=(1,0)とすると；ちなみにこのベクトルは縦ベクトルです
A→a=(cosθ,sinθ)となりちゃんとθ回転しているのがわかります
★★★★

以上より2次元ならベクトルも複素数も全く同じということがわかります
ただ高校では２×２行列を用いるより
極座標を用いた方がわかりやすく計算も早いために複素数を使っているのです
だから回転したいときは複素数が便利ということが結論でしょう

＞「複素数の成分」という言葉はあるのでしょうか。
あえて答えるとすれば複素数の成分とはそれ自身です
確かにこのような言葉は存在しますよ。
難しい言葉で言うとn次元で各成分が複素数であるような集合を考えるときの
n=1の場合がこれにあたると思います
まあこれは大学へ行って勉強してみましょう

この回答へのお礼

hismixさんまたまたお返事していただいてどうもありがとうございます。

＞前回の回答でPとかQは複素数ではなく、点の名前であるということですよねではQ-Pっていうのは？ ぼくはこれを見たとき、この場合に限ってPとかQをその点の複素数であるとみなしました。というのも、もし点の名前だったらQ-Pの"－"は定義されて無いからです

その通りですね。すいません、点ではなく複素数として使っていました。

＞この疑問は本当にもっともですね。平面の点を原点を始点としたベクトルでも表せるし、複素数でも表せる。一体どっちを使えばいいのかということですよね実は高校数学においては２つとも同じものなのですつまりベクトルでも回転はあらわせるのです。

なるほど、回転の時は行列より回転の方がうまいやり方だと思うのですが、回転ではなくて、ベクトルの内積と複素数の回転の違いはどうなのでしょうか。これは同じものではないですよね。90度を翻訳するときに複素数平面のときはkiをかけて立式し、複素数以外の時は、ベクトルの内積がゼロや、三平方の定理などを使って立式しますよね。これはなぜなのでしょうか。棲み分けがされているのでしょうか。ベクトルはボーダーレスであるのに関わらず、複素数平面では内積ゼロを使わず、あくまでも「複素数」の回転で処理するというのがよくわかりません。

お礼日時：2001/12/21 00:03

No.6 ベストアンサー 回答者： hismix 回答日時： 2001/12/21 12:27

＞ベクトルの内積と複素数の回転の違いはどうなのでしょうか？

前回の回答に結局帰着する話なんですが、ちょっと飛躍しすぎでしたね
すいません。では今からその溝を埋めていきたいと思います。
結論から言うと内積も複素数も同じなんです
厳密にいえば複素数の積にベクトルでいう内積の性質が保たれているのです。
質問は９０度ということですが、これも複素数iにちゃんと関係しています

ちょっと記号を準備させてください
まず今回は角度の話に限っているので、単位円上で考えても一般性を失わない
単位円上の２点をA、Bとして∠AOB=θとします

すると内積は定義より
(→a)・(→b)=cosθ・・・(1)；なぜなら今は単位円上より長さは１でした
回転を与える複素数は
cosθ+isinθ・・・(2)
ほらcosθがかぶってるでしょ？
これは確かに内積と回転とが関係している証拠です
もっと厳密に見てみると
(1)が決まれば(2)は一意にきまり、逆も一意。つまり対応関係があるのです
だから長さを変えない（i.e.単位円上での）回転と内積とは
同値なものであるということです

質問はθ=π/2のときでしたが、これも帰着します

＞棲み分けがされているのでしょうか。
上でみたように同値な考え方なので表記が違うだけなんですね
だから棲み分けがされているといったら、表記の上での棲み分けだけがあります
ベクトルがあれば内積を用い、複素数があれば回転を使うだけなのです
また余談ですが
これは高校の数学に限った話でベクトルは次元の高い空間を表わすのが
目的であり、複素数はそれ自身いろいろな計算の上で重要な空間なのです
だからきちんとした棲み分けってものはあるんです
ただ高校の範囲ではその丁度重なったとこしか見えないため
こういう疑問がおこっちゃうんです

＞ベクトルはボーダーレスであるのに関わらず、複素数平面では内積ゼロを
＞使わず、あくまでも「複素数」の回転で処理するというのがよくわかりません。
これも表記の問題です
複素数で内積は定義されていませんよね
けど内積と同値な回転は定義してあるわけなんです
定義をなぜしないのか？
これはわざわざ定義しても新たなものを生まないからなんです
だから今のうちは
ベクトルがあれば内積を用い、複素数があれば回転を使うんだって
思ってもらった方がいいですね。そしてこの操作は実は変形していけば
同値なものなんだと。
また何かあったら聞いてください

この回答へのお礼

hismixさん最後までつきあっていただいてお返事どうもありがとうございます。ベクトルと複素数の関係について混乱がおさまりました。とてもうれしいです。まだ細かいところまではわからないけど、だいたい全体像が見えてきて今やっている高校数学の内容がつかめたので視界が開けたような感じがします。あとは演習をこなしていきたいと思います。どうもありがとうございました！！

お礼日時：2001/12/22 06:57