三角関数（加法定理）

問題
α、β、γ、は鋭角、tanα=2 ,tanβ=5 ,tanγ=8 のときα+β+γを求めよ
解答
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα*tanβ)=-7/9
tan(α+β+γ)=(tan(α+β)+tanγ)/(1-tan(α+β)*tanγ)=1
ここから間違えた解答
0＜α+β+γ＜3π/2　　より
α+β+γ=π/4 ,　5π/4
模範解答は
tanπ/3=√3 ,tanα=2 より、π/3＜α
π/3＜α＜β＜γ＜π/2 より
π＜α+β+γ＜3π/2
よって　α+β+γ=5π/4

こうして模範解答はα+β+γ=π/4　を排除しています。
この排除の方法として以下の方法ではまずいでしょうか？

tanπ/3=√3 ,tanα=2 より、π/3＜α
π/4＜π/3＜α
より明らかにα+β+γ=π/4は不適

よろしくお願いします

No.1 回答者： Josquin 回答日時： 2006/01/15 23:41

「明らかに」は良くないと思います。

「また、βとγは鋭角だから」ぐらいの説明はした方がいいでしょう。

この回答へのお礼

ありがとうどざいました。
大変参考になりました。

お礼日時：2006/01/16 23:46

No.2 ベストアンサー 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2006/01/16 09:43

問題ないと思います。

π/4＜π/3＜αであれば、α+β+γ=π/4になりえないのは明らかですから。
但し、相手が高校生ならその辺は丁寧に説明すべきとは思いますが、模試や入試なら採点者はプロですから。



αの領域の定め方については、下の方法の方が分り易いとおもいますが。

tanα＝2 ＞1より、π/4＜α＜π/2.
β、γも同様にして、π/4＜β＜π/2。π/4＜γ＜π/2.
従って、3π/4＜α＋β＋γ＜3π/2。
以上から、α＋β＋γ＝5π/4.

この回答へのお礼

ありがとうどざいました。
大変参考になりました。

お礼日時：2006/01/16 23:47